Cho hàm số f(x) liên tục trên \(\mathbb{R} \text { và } 3 f(-x)-2 f(x)=\tan ^{2} x . \operatorname{Tính} \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} f(x) \mathrm{d} x\)
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\begin{aligned} &\text { Ta có } \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \tan ^{2} x \mathrm{~d} x=\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}\left(\frac{1}{\cos ^{2} x}-1\right) \mathrm{d} x=\left.(\tan x-x)\right|_{-\frac{\pi}{4}} ^{\frac{\pi}{4}}=1-\frac{\pi}{4}-\left(-1+\frac{\pi}{4}\right)=2-\frac{\pi}{2}\\ &\Rightarrow 2-\frac{\pi}{2}=\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}[3 f(-x)-2 f(x)] \mathrm{d} x\\ &\text { Đặt } t=-x \Rightarrow \mathrm{d} t=-\mathrm{d} x, \text { đổi cận } x=-\frac{\pi}{4} \Rightarrow t=\frac{\pi}{4}, x=\frac{\pi}{4} \Rightarrow t=-\frac{\pi}{4} \text { . }\\ &\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}[3 f(-x)-2 f(x)] \mathrm{d} x=\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}[3 f(t)-2 f(-t)] \mathrm{d} t=\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}[3 f(x)-2 f(-x)] \mathrm{d} x\\ &\text { Suy ra, } \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} f(x) \mathrm{d} x=\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} f(-x) \mathrm{d} x \Rightarrow 2-\frac{\pi}{2}=\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}[3 f(x)-2 f(x)] \mathrm{d} x \Leftrightarrow 2-\frac{\pi}{2}=\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} f(x) \mathrm{d} x\\ &\text { Vậy } \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} f(x) \mathrm{d} x=2-\frac{\pi}{2} \end{aligned}\)
