Cho hàm số y =f(x) có đồ thị (C), xác định và liên tục trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn đồng thời các điều kiện \(f(x)>0 \quad \forall x \in \mathbb{R}, \quad f^{\prime}(x)=(x \cdot f(x))^{2}, \forall x \in \mathbb{R} \quad \text { và } \quad f(0)=2\). Phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x =1 của đồ thị (C) là.
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\begin{array}{l} f^{\prime}(x)=(x, f(x))^{2} \Leftrightarrow \frac{f^{\prime}(x)}{f^{2}(x)}=x^{2} \Leftrightarrow \int_{0}^{1} \frac{f^{\prime}(x)}{f^{2}(x)} \mathrm{d} x=\int_{0}^{1} x^{2} \mathrm{~d} x \Leftrightarrow \int_{0}^{1} \frac{\mathrm{d} f(x)}{f^{2}(x)}=\left.\frac{x^{3}}{3}\right|_{0} ^{1} \\ \Leftrightarrow-\left.\frac{1}{f(x)}\right|_{0} ^{1}=\frac{1}{3} \Leftrightarrow \frac{1}{f(1)}-\frac{1}{f(0)}=-\frac{1}{3} \Leftrightarrow \frac{1}{f(1)}=\frac{1}{6} \Leftrightarrow f(1)=6 \\ \text { Tù } f^{\prime}(x)=(x . f(x))^{2} \Rightarrow f^{\prime}(1)=(1 . f(1))^{2}=36 \end{array}\)Vậy phương trình tiếp tuyến cần lập là \(y=36 x-30\)