Cho hình chóp S.ABC, đáy là tam giác ABC có \(AB = BC\sqrt5 , AC = 2BC\sqrt2\), hình chiếu của S lên mặt phẳng (ABC) là trung điểm O của cạnh AC. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) bằng 2. Mặt phẳng (SBC) hợp với mặt phẳng (ABC) một góc (alpha ) thay đổi. Biết rằng giá trị nhỏ nhất của thể tích khối chóp S.ABC bằng \( \frac{{\sqrt a }}{b}\), trong đó (a,b thuộc N*), a là số nguyên tố. Tổng a + b bằng:
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai
Gọi H là hình chiếu của O lên SB.
Ta có: \( OB = \sqrt {\frac{{2B{C^2} + 2B{A^2} - A{C^2}}}{4}} = BC;OC = \frac{1}{2}AC = BC\sqrt 2 \). Suy ra OB⊥BC
Dễ thấy \(∠SBO=α\) và \( OH = d\left( {O;\left( {SBC} \right)} \right) = \frac{1}{2}d\left( {A;\left( {SBC} \right)} \right) = 1\)
Suy ra
\(\begin{array}{l} SO = \frac{{OH}}{{\cos \alpha }} = \frac{1}{{\cos \alpha }};OB = \frac{{OH}}{{\sin \alpha }} = \frac{1}{{\sin \alpha }}\\ \Rightarrow BC = OB = \frac{1}{{\sin \alpha }} \end{array}\)
Thể tích khối chóp S.ABC là:
\(\begin{array}{*{20}{l}} {{V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}SO.{S_{ABC}} = \frac{1}{3}SO.2{S_{OBC}}}\\ {{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} = \frac{1}{3}.\frac{1}{{\cos \alpha }}.{{\left( {\frac{1}{{\sin \alpha }}} \right)}^2} = \frac{1}{{3\cos \alpha .{{\sin }^2}\alpha }}} \end{array}\)
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:
\(\begin{array}{*{20}{l}} {1 = \frac{1}{2}{{\sin }^2}\alpha + \frac{1}{2}{{\sin }^2}\alpha + {{\cos }^2}\alpha \ge 3.\sqrt[3]{{\frac{1}{4}{{\sin }^4}\alpha .{{\cos }^2}\alpha }}}\\ { \Leftrightarrow \frac{1}{{27}} \ge \frac{1}{4}.si{n^4}\alpha .co{s^2}\alpha \Rightarrow \frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha {{\cos }^2}\alpha }} \ge \frac{{3\sqrt 3 }}{2}}\\ { \Rightarrow {V_{S.ABC}} \ge \frac{{\sqrt 3 }}{2}} \end{array}\)
Vậy\( \min {V_{S.ABC}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\). Dấu “=” xảy ra
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\cos ^2}\alpha = \frac{1}{2}{\sin ^2}\alpha = \frac{1}{3} \Leftrightarrow \cos \alpha = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\\ \Rightarrow a = 3,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} b = 2 \end{array}\)
Vậy a+b=3+2=5
Đáp án cần chọn là: B
