Cho phương trình \(4^{x}-2^{x+2}+m-2=0\) với m là tham số. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt \(x_{1}, x_{2}\) thỏa mãn \(0 \leq x_{1}<x_{2} ?\)
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\begin{aligned} &4^{x}-2^{x+2}+m-2=0 \Leftrightarrow 4^{x}-4.2^{x}+m-2=0(1) \text { . Đặt } t=2^{x}(t>0) \\ &(1) \Leftrightarrow t^{2}-4 t+m-2=0(2) \end{aligned}\)
\(\text { Để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn } 0 \leq x_{1}<x_{2} \Leftrightarrow 2^{0} \leq 2^{x_{1}}<2^{x_{2}} \Leftrightarrow 1 \leq t_{1}<t_{2}\)
\(\begin{aligned} &\text { Thì phương trình (2) thỏa: } 0 \leq t_{1}-1<t_{2}-1\\ &\Leftrightarrow\left\{\begin{array} { l } { \Delta > 0 } \\ { t _ { 1 } + t _ { 2 } > 2 } \\ { ( t _ { 1 } - 1 ) ( t _ { 2 } - 1 ) \geq 0 } \end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array} { l } { 1 6 - 4 ( m - 2 ) > 0 } \\ { 4 > 2 } \\ { t _ { 1 } t _ { 2 } - ( t _ { 1 } + t _ { 2 } ) + 1 \geq 0 } \end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} m<6 \\ m \geq 5 \end{array} \right.\right.\right. \end{aligned}\)
Vậy có 1 giá trị m là m=5 thỏa yêu cầu bài toán.