Cho số thực dương x. Biểu thức \(\sqrt{x \sqrt{x \sqrt{x \sqrt{x \sqrt{x \sqrt{x \sqrt{x \sqrt{x}}}}}}}}\) được viết dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ có dạng \(x^{\frac{a}{b}}\) , với \(a\over b\) là phân số tối giản. Khi đó, biểu thức liên hệ giữa a và b là:
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có:
\(\sqrt{x \sqrt{x \sqrt{x \sqrt{x \sqrt{x \sqrt{x \sqrt{x \sqrt{x}}}}}}}}=\sqrt{x \sqrt{x \sqrt{x \sqrt{x \sqrt{x \sqrt{x \sqrt{x \cdot x^{\frac{1}{2}}}}}}}}}=\sqrt{x \sqrt{x \sqrt{x \sqrt{x \sqrt{x \sqrt{x \sqrt{\frac{3}{2}}}}}}}}\)
\(=\sqrt{x \sqrt{x \sqrt{x \sqrt{x \sqrt{x \sqrt{x\left(x^{\frac{3}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}}}}}}}=\sqrt{x \sqrt{x \sqrt{x \sqrt{x \sqrt{x \sqrt{x^{\frac{7}{4}}}}}}}}=\sqrt{x \sqrt{x \sqrt{x \sqrt{x \sqrt{x \cdot x^{\frac{7}{8}}}}}}}\)
\(=\sqrt{x \sqrt{x \sqrt{x \sqrt{x \sqrt{x^{\frac{15}{8}}}}}}}=\sqrt{x \sqrt{x \sqrt{x \sqrt{x \cdot x^{\frac{15}{16}}}}}}=\sqrt{x \sqrt{x \sqrt{x \sqrt{x^{\frac{31}{16}}}}}}=\sqrt{x \sqrt{x \sqrt{x x^{\frac{31}{32}}}}}=\sqrt{x \sqrt{x \sqrt{x^{\frac{63}{32}}}}}\)
\(=\sqrt{x \sqrt{x \cdot x^\frac{63}{64}}}=\sqrt{x \sqrt{x^\frac{127}{64}}}=\sqrt{x {x^\frac{127}{128}}}=\sqrt{x^{\frac{255}{128}}}=x^{\frac{255}{256}}\)
Vậy \(a=255, b=256\)
Khi đó \(a+2b=767\)