Cho tích phân \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos 2 x}{1+\sin x} \mathrm{d} x=a+b \pi \text { với } a, b \in \mathbb{Q} . \text { Tính } P=1+a^{3}+b^{2}\)
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có:
\(\begin{array}{l} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos 2 x}{1+\sin x} \mathrm{d} x=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1-2 \sin ^{2} x}{1+\sin x} \mathrm{d} x=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\left(-2 \sin x+2-\frac{1}{1+\sin x}\right) \mathrm{d} x \\ =\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\left(-2 \sin x+2-\frac{1}{1+\cos \left(\frac{\pi}{2}-x\right)}\right) \mathrm{d} x=\left.(2 \cos x+2 x)\right|_{0} ^{\frac{\pi}{2}}-\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{2 \cos ^{2}\left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{4}\right)} \mathrm{d} x \end{array}\)
\(\begin{array}{l} =-2+\pi-\left.\frac{1}{2} \cdot 2 \tan \left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{4}\right)\right|_{0} ^{\frac{\pi}{2}}=-3+\pi \\ \text { Vậy } a=-3, b=1 \\ P=1+a^{3}+b^{2}=-25 \end{array}\)
