Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số \(y = x⁸ + (m -1)x⁵ - (m² -1)x⁴ +1 \) đạt cực tiểu taị x=0
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có:
\(y ' = 8x⁷ + 5(m -1)x⁴ - 4(m² -1)x³ +1 = x³ (8x⁴ + 5(m - 1) x - 4 (m² - 1)) \)\(\begin{array}{l} y' = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ 8{x^4} + 5\left( {m - 1} \right)x - 4\left( {{m^2} - 1} \right) = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right) \end{array} \right. \end{array}\)
+ Nếu m=1 thì \(y'=8x^7\), suy ra x=0 là điểm cực tiểu của hàm số,
+ Nếu m=-1 thì
\(\begin{array}{l} y' = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ 8{x^4} - 10x = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = \sqrt[3]{{\frac{5}{4}}} \end{array} \right. \end{array}\)
trong đó x=0 là nghiệm bội chẵn nên không phải cực trị.
+ Nếu \(m\ne\pm1\): khi đó x=0 là nghiệm bội lẻ.
Xét hàm số \(g(x)=8{x^4} + 5\left( {m - 1} \right)x - 4\left( {{m^2} - 1} \right) \). Để x=0 là điểm cực tiểu thì
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} g\left( x \right) = - 4\left( {{m^2} - 1} \right) > 0 \Leftrightarrow {m^2} - 1 < 0 \Leftrightarrow - 1 < m < 1\) Do m là số nguyên nên m=0.
Vậy có hai tham số m nguyên để hàm số đặt cực tiểu tại x=0 là m=0 và m=1