Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { – 2;1} \right]} \left( {{x^4} – 6m{x^2} + {m^2}} \right) = 16\). Số phần tử của S là ?
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiHàm số \(f\left( x \right) = {x^4} – 6m{x^2} + {m^2}\) đã xác định và liên tục trên \(\left[ { – 2;1} \right]\).
Ta có \(f’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 4{x^3} – 12mx = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} = 3m\end{array} \right.\).
Tính \(f\left( 0 \right) = {m^2}, f\left( 1 \right) = 1 – 6m + {m^2}, f\left( { – 2} \right) = 16 – 24m + {m^2}\).
Nhận xét: \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { – 2;1} \right]} \left( {{x^4} – 6m{x^2} + {m^2}} \right) = 16\) suy ra \(f\left( 0 \right) = {m^2} \in \left[ {0;16} \right] \Leftrightarrow m \in \left[ { – 4;4} \right]\)
Khi đó \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { – 2;1} \right]} \left( {{x^4} – 6m{x^2} + {m^2}} \right) = 16 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{m^2} = 16\\16 – 24m + {m^2} = 16\\1 – 6m + {m^2} = 16\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}m = \pm 4\\m = 0\\m = 24\\m = 3 \pm 2\sqrt 6 \end{array} \right.\).
Thử lại:
Với m = 0, ta có \(f\left( 0 \right) = 0, f\left( 1 \right) = 1, f\left( { – 2} \right) = 16 \Rightarrow m = 0\) thỏa mãn.
Với m = 4, ta có \(f\left( 0 \right) = 16, f\left( 1 \right) = – 7, f\left( { – 2} \right) = – 64 \Rightarrow m = 4\) thỏa mãn.
Với m = – 4, ta có \(f\left( { – 2} \right) = 128 > 16 \Rightarrow m = – 4\) không thỏa mãn.
Với \(m = 3 – 2\sqrt 6 \), ta có \(f\left( { – 2} \right) = 36\sqrt 6 – 23 > 16 \Rightarrow m = 3 – 2\sqrt 6 \) không thỏa mãn.
Như vậy ta được m = 0, m = 4 thỏa mãn bài toán.
