Cho \(0\le x;\,y\le 1\) thỏa mãn \(\frac{{{2018}^{1-x}}}{{{2018}^{y}}}=\frac{{{x}^{2}}+2019}{{{y}^{2}}-2y+2020}\). Gọi M, m lần lượt là GTLN, GTNN của biểu thức \(P=\left( 4{{x}^{2}}+3y \right)\left( 4{{y}^{2}}+3x \right)+25xy\), khi đó \(M+m\) bằng bao nhiêu?
Suy nghĩ trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\begin{align} & \frac{{{2018}^{1-x}}}{{{2018}^{y}}}=\frac{{{x}^{2}}+2019}{{{y}^{2}}-2y+2020}\Leftrightarrow \frac{{{2018}^{1-x}}}{{{2018}^{y}}}=\frac{{{x}^{2}}+2019}{{{\left( y-1 \right)}^{2}}+2019}\Leftrightarrow \frac{{{2018}^{1-y}}}{{{2018}^{x}}}=\frac{{{x}^{2}}+2019}{{{\left( y-1 \right)}^{2}}+2019} \\ & \Leftrightarrow {{2018}^{x}}\left( {{x}^{2}}+2019 \right)={{2018}^{1-y}}\left( {{\left( 1-y \right)}^{2}}+2019 \right)\,\,(1) \\\end{align}\)
Xét hàm số \(y=f(t)={{2018}^{t}}.\left( {{t}^{2}}+2019 \right),\,\,t\in \left[ 0;1 \right]\)
\(y'=f'(t)={{2018}^{t}}\ln 2018.\left( {{t}^{2}}+2019 \right)+2t{{.2018}^{t}}={{2018}^{t}}.\left( {{t}^{2}}\ln 2018+2t+2019\ln 2018 \right)>0,\,\,\forall t\in \left[ 0;1 \right]\)
\(\Rightarrow \) Hàm số đồng biến trên đoạn \(\left[ 0;1 \right]\)
Phương trình (1) trở thành \(f(x)=f(1-y)\Leftrightarrow x=1-y\Leftrightarrow x+y=1\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}
P = \left( {4{x^2} + 3y} \right)\left( {4{y^2} + 3x} \right) + 25xy\\
\,\,\,\,\, = 16{x^2}{y^2} + 12{x^3} + 12{y^3} + 9xy + 25xy\\
\,\,\,\,\, = 16{x^2}{y^2} + 12\left( {{{\left( {x + y} \right)}^3} - 3xy\left( {x + y} \right)} \right) + 34xy\\
\,\,\,\,\, = 16{x^2}{y^2} + 12 - 36xy + 34xy = 16{x^2}{y^2} - 2xy + 12
\end{array}\)
Với \(x,\,y\in \left[ 0;1 \right],\,\,x+y=1\): \(0\le xy\le \frac{1}{4}\). Đặt \(xy=z,\,\,\,z\in \left[ 0;\frac{1}{4} \right]\), ta có: \(P=g(z)=16{{z}^{2}}-2z+12,\,\,g'(z)=32z-2=0\Rightarrow z=\frac{1}{16}\)
Mà \(g\left( 0 \right)=12,\,\,g\left( \frac{1}{16} \right)=\frac{191}{16},\,g\left( \frac{1}{4} \right)=\frac{25}{2}\Rightarrow M=\frac{25}{2},\,\,m=\frac{191}{16}\Rightarrow M+m=\frac{391}{16}\)
Chọn: A
Đề thi thử THPT QG năm 2023 môn Toán
Trường THPT Nguyễn Hữu Thọ
Câu hỏi liên quan
-
Cho hình nón có bán kính đáy \(r=a\), chiều cao là \(h=3a\), thể tích của khối nón bằng
-
Cho các số phức \({{z}_{1}},\,{{z}_{2}}\) với \({{z}_{1}}\ne 0\). Tập hợp các điểm biểu diễn số phức \(\text{w = }{{\text{z}}_{1}}z-{{z}_{2}}\) là đường tròn tâm là gốc tọa độ và bán kính bằng 1. Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là:
-
Tích phân \(\int\limits_{0}^{1}{{{e}^{3x}}dx}\) bằng:
-
Gọi \({{z}_{1}},\,\,{{z}_{2}}\) là nghiệm phức của phương trình \({{z}^{2}}+4z+20=0\). Khi đó, giá trị biểu thức \(A={{\left| {{z}_{1}} \right|}^{2}}-2\left( z_{1}^{2}+z_{2}^{2} \right)\) bằng:
-
Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số \(y=\frac{\sqrt{{{x}^{2}}-x+5}}{x-2}\) là:
-
Cho hình chóp \(S.ABC\) có góc \(\widehat{ASB}=\widehat{CSB}={{60}^{0}}\), \(\widehat{ASC}={{90}^{0}}\), \(SA=a,\,\,SB=SC=2a\). Khoảng cách d từ A đến mặt phẳng (SBC) bằng:
-
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B, \(AB=BC=a,\ AD=2a,\,\,SA\) vuông góc với đáy (ABCD), \(SA=a\). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC, SD. Cosin của góc giữa MN và (SAC) là:
-
Cho hàm số \(y = {x^2} + 5x + 4\) có đồ thị \(\left( C \right)\). Tìm tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại các giao điểm của \(\left( C \right)\) với trục \(Ox\).
-
Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ \(Oxy\). Cho đường tròn \(\left( C \right)\) có phương trình: \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 5} \right)^2} = 4\) và điểm \(I\left( {2; - 3} \right).\) Gọi \(\left( {C'} \right)\) là ảnh của \(\left( C \right)\) qua phép vị tự \(V\) tâm \(I\) tỉ số \(k = - 2.\) Tìm phương trình của \(\left( {C'} \right).\)
-
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, \(SA\bot (ABC),\,\,SA=a\sqrt{3}\). Góc giữa SC và mặt phẳng (ABC) là
.png)
-
Trong không gian \(Oxyz\,\)cho đường thẳng \(d:\left\{ \begin{align} & x=1+2t \\ & y=-1+3t \\ & z=-t \\\end{align} \right.\). Trong các điểm sau điểm nào không thuộc d ?
-
Chọn giá trị \(f(0)\) để các hàm số \(f(x) = \frac{{\sqrt {2x + 1} - 1}}{{x(x + 1)}}\)liên tục tại điểm \(x = 0\).
-
Đồ thị trong hình bên là của hàm số nào dưới đây?
-
Cho hàm số \(y=\frac{2x+2}{x-1}\) có đồ thị (C). Đường thẳng (d): \(y=x+1\) cắt đồ thị (C) tại 2 điểm phân biệt M và N thì tung độ trung điểm I của đoạn thẳng MN bằng
-
Một hộp chứa 3 viên bi xanh, 2 viên bi vàng, 1 viên bi trắng. Lấy ngẫu nhiên 3 viên bi. Xác suất để lấy ra 3 viên bi có đủ 3 màu là:
-
Cho hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm tại \({{x}_{0}}=-2\). Kết quả \(\underset{x\to -2}{\mathop{\lim }}\,\frac{2f(x)+xf(-2)}{x+2}\) là:
-
Giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số \(y={{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+3\) trên \(\left[ 0;2 \right]\) là
-
Phương trình \({{2}^{2{{x}^{2}}}}-{{6.2}^{{{x}^{2}}+x}}+{{2}^{2x+3}}=0\) có 4 nghiệm \({{x}_{1}}<{{x}_{2}}<{{x}_{3}}<{{x}_{4}}\). Tổng \({{x}_{1}}+{{x}_{2}}+2{{x}_{3}}+{{x}_{4}}=\frac{1}{c}\left( a+\sqrt{b} \right)\) (a, b, c là các số nguyên dương). Khi đó tích a.b.c có kết quả bằng:
-
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(d:\frac{x-1}{2}=\frac{y+2}{-1}=\frac{z}{3}\). Mặt phẳng (P) đi qua \(A(1;0;-3)\) và vuông góc với d có phương trình là:
-
Cho hình chóp \(S.ABCD\), tứ giác \(ABCD\) đáy là hình thang vuông tại \(A\) và \(B\), \(SA\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\). Biết \(AB = 2CD = 2AD\). Mệnh đề nào sau đây sai?
