Cho bất phương trình \({{9}^{x}}+\left( m-1 \right){{.3}^{x}}+m>0\)\(\left( 1 \right)\). Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để bất phương trình \(\left( 1 \right)\) có nghiệm đúng \(\forall x\ge 1\)
Suy nghĩ trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐặt \(t={{3}^{x}}\), \(t\left( x \right)\) là hàm đồng biến trên \(\mathbb{R}\), \(\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,t=+\infty \)\(\Rightarrow \) với \(x\in \left[ 1;\,+\infty \right)\), thì \(t\in \left[ 3;\,+\infty \right)\).
Ta có: \(\left( 1 \right)\Leftrightarrow {{t}^{2}}+\left( m-1 \right)t+m>0\)\(\left( 2 \right)\)
Để \(\left( 1 \right)\) có nghiệm đúng \(\forall x\ge 1\) thì \(\left( 2 \right)\) có nghiệm đúng \(\forall t\ge 3\)
\(\Leftrightarrow {{t}^{2}}+\left( m-1 \right)t+m>0\ \ \forall t\ge 3\)\(\Leftrightarrow {{t}^{2}}-t>-m\left( t+1 \right)\)\(\forall t\ge 3\)\(\Leftrightarrow \frac{{{t}^{2}}-t}{t+1}>-m\)\(\forall t\ge 3\)\(\left( 3 \right)\)
Xét hàm số \(f\left( t \right)=\frac{{{t}^{2}}-t}{t+1}\) có \({f}'\left( t \right)=\frac{\left( 2t-1 \right)\left( t+1 \right)-\left( {{t}^{2}}-t \right)}{{{\left( t+1 \right)}^{2}}}=\frac{2{{t}^{2}}+t-1-{{t}^{2}}+t}{{{\left( t+1 \right)}^{2}}}=\frac{{{t}^{2}}+2t-1}{{{\left( t+1 \right)}^{2}}}\)
Với \(t\ge 3\), \({{t}^{2}}+2t-1\ge {{3}^{2}}+2.3-1>0\) nên \({f}'\left( t \right)>0\)\(\forall t\in \left[ 3;\,+\infty \right)\)\(\Rightarrow \underset{\left[ 3;\,+\infty \right)}{\mathop{\min }}\,f\left( t \right)=f\left( 3 \right)=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}\)
Do đó \(\left( 3 \right)\Leftrightarrow -m<\underset{\left[ 3;\,+\infty \right)}{\mathop{\min }}\,f\left( t \right)=\frac{3}{2}\)\(\Leftrightarrow m>-\frac{3}{2}\).
Đề thi thử THPT QG năm 2021 môn Toán
Trường THPT Nguyễn Khuyến lần 3
Câu hỏi liên quan
-
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho tứ diện ABCD có tọa độ các điểm \(A\left( 1;1;1 \right), B\left( 2;0;2 \right), C\left( -1;-1;0 \right), D\left( 0;3;4 \right)\). Trên các cạnh AB, AC, AD lần lượt lấy các điểm \({B}',{C}',{D}'\) sao cho \(\frac{AB}{A{B}'}+\frac{AC}{A{C}'}+\frac{AD}{A{D}'}=4\) và tứ diện \(A{B}'{C}'{D}'\) có thể tích nhỏ nhất. Phương trình mặt phẳng \(\left( {B}'{C}'{D}' \right)\) có dạng là ax+by+cz-d=0. Tính a-b+c+d
-
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng \(\left( SAD \right)\).
-
Trong không gian với hệ tọa độ cho điểm \(A\left( -3;1;2 \right)\). Tọa độ điểm A' đối xứng với điểm A qua trục Oy là:
-
Cho số phức \(z\) thoả mãn \(\overline{z}-3+i=0\). Môđun của \(z\) bằng
-
Số tiệm cận của đồ thị hàm số \(y=\frac{\sqrt{4-{{x}^{2}}}}{x+3}\) là:
-
Cho số phức z. Gọi A, B lần lượt là các điểm trong mặt phẳng (Oxy) biểu diễn các số phức z và\(\left( 1+i \right)z\). Tính \(\left| z \right|\) biết diện tích tam giác OAB bằng 8
-
Thể tích của một khối lập phương bằng 27. Cạnh của khối lập phương đó là
-
Đường thẳng \(\left( \Delta \right)\) là giao của hai mặt phẳng \(x+z-5=0\) và \(x-2y-z+3=0\) thì có vecto chỉ phương là:
-
Một cái thùng đựng đầy nước được tạo thành từ việc cắt mặt xung quanh của một hình nón bởi một mặt phẳng vuông góc với trục của hình nón. Miệng thùng là đường tròn có bán kính bằng ba lần bán kính mặt đáy của thùng. Người ta thả vào đó một khối cầu có đường kính bằng \(\frac{3}{2}\)chiều cao của thùng nước và đo được thể tích nước tràn ra ngoài là \(54\sqrt{3}\pi \) (dm3). Biết rằng khối cầu tiếp xúc với mặt trong của thùng và đúng một nửa của khối cầu đã chìm trong nước (hình vẽ). Thể tích nước còn lại trong thùng có giá trị nào sau đây?
.png)
-
Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với mặt phẳng đáy, SA=a, ABCD là hình chữ nhật và \(AB=a,\,\,AD=a\sqrt{2}\). Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng \(\left( ABCD \right)\) là
-
Hàm số \(y={{\log }_{a}}x\) và \(y={{\log }_{b}}x\) có đồ thị như hình vẽ dưới đây.
.jpg.png)
Đường thẳng \(y=3\) cắt hai đồ thị tại các điểm có hoành độ \({{x}_{1}}\), \({{x}_{2}}\). Biết rằng \({{x}_{2}}=2{{x}_{1}}\), giá trị của \(\frac{a}{b}\) bằng
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\), liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có bảng biến thiên như hình vẽ bên. Tìm số nghiệm thực của phương trình \(2f\left( x \right)+7=0\)
.png)
-
Tiếp tuyến đồ thị hàm số \(y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+1\) tại điểm A (3;1) là đường thẳng
-
Cho hình trụ có thiết diện đi qua trục là một hình vuông có cạnh bằng 4a. Diện tích xung quanh của hình trụ là
-
Xác định tập nghiệm S của bất phương trình \({{\left( \frac{1}{3} \right)}^{2x-3}}\ge 3.\)
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và thỏa mãn \(f(x)+f(-x)=2\cos 2x,\,\forall x\in \mathbb{R}\). Khi đó \(\int\limits_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}{f\left( x \right)\text{d}x}\) bằng
-
Cho \({{\log }_{a}}x=2,{{\log }_{b}}x=3\) với a,b là các số thực lớn hơn 1.Tính \(P={{\log }_{\frac{a}{{{b}^{2}}}}}x.\)
-
Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số \(y=\frac{1}{3}{{x}^{3}}-m{{x}^{2}}+\left( {{m}^{2}}-4 \right)x+3\) đạt cực đại tại \(x=3.\)
-
Cho mặt cầu có bán kính R = 3. Diện tích của mặt cầu đã cho bằng
-
Phương trình \({{\log }_{2}}\left( x+1 \right)=2\) có nghiệm là
