Cho hàm số bậc 3 \(f\left( x \right)=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d\) và đường thẳng d: \(g\left( x \right)=mx+n\) có đồ thị như hình vẽ. Nếu phần tô màu đen có diện tích bằng \(\frac{1}{2}\), thì phần gạch chéo có diện tích bằng bao nhiêu?
.jpg.png)
Suy nghĩ trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiKhông mất tính tổng quát, ta tịnh tiến đồ thị sang bên trái 1 đơn vị thì có đồ thị như hình dưới
.jpg.png)
Ta vẫn gọi đường cong và đường thẳng có phương trình dạng \(f\left( x \right)=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d\) và \(g\left( x \right)=mx+n\).
+ Quan sát đường thẳng đi qua điểm \(M\left( -2;0 \right)\) và \(N\left( -1;1 \right)\) nên đường thẳng có phương trình y=x+2
+ Quan sát đường cong thấy hai điểm cực trị có hoành độ là -1;1, kết hợp với đạo hàm \({f}'\left( x \right)=3a{{x}^{2}}+2bx+c\) suy ra b=0 và \(c=-3\text{a}\).
+ Quan sát giao điểm đồ thị với \(\text{Oy}\) ta thấy \(\text{d=2}\); vậy \(f\left( x \right)=a{{x}^{3}}-3ax+2\)
+ Từ giả thiết về diện tích phần tô đen ta có \(\int\limits_{-1}^{0}{\left( a{{x}^{3}}-3ax-x \right)}\text{d}x=\frac{1}{2}\Leftrightarrow a\int\limits_{-1}^{0}{\left( {{x}^{3}}-3x \right)}\text{d}x-\int\limits_{-1}^{0}{x}\text{d}x=\frac{1}{2}\Leftrightarrow \frac{5}{4}.a-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\Leftrightarrow a=\frac{4}{5}\)
Vậy ta có hai đường có phương trình: \(f\left( x \right)=\frac{4}{5}{{x}^{3}}-\frac{12}{5}x+2\).
+ Diện tích hình gạch chéo bằng \(S=\int\limits_{0}^{1}{\left( \frac{4}{5}{{x}^{3}}-\frac{12}{5}x+2 \right)}\text{d}x=1\)
Đề thi thử THPT QG năm 2021 môn Toán
Trường THPT Nguyễn Trãi lần 2
Câu hỏi liên quan
-
Cho \(\int\limits_{a}^{c}{f\left( x \right)\text{d}x}=17\) và \(\int\limits_{b}^{c}{f\left( x \right)\text{d}x}=-11\) với a<b<c. Tính \(I=\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)\text{d}x}\).
-
Cho hai số phức \({{z}_{1}}=2+3i, {{z}_{2}}=-4-5i\). Số phức \(z={{z}_{1}}+{{z}_{2}}\) là
-
Tìm họ nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)=\cos \left( 2-3x \right)\).
-
Cho \(\int\limits_{1}^{2}{f\left( x \right)\text{d}x=-3}, \int\limits_{2}^{5}{f\left( x \right)\text{d}x=5}\) và \(\int\limits_{1}^{5}{g\left( x \right)\text{d}x=6}\). Tính tích phân \(I=\int\limits_{1}^{5}{\left[ 2.f\left( x \right)-g\left( x \right) \right]\text{d}x}\).
-
Cho cấp số cộng \(\left( {{u}_{n}} \right)\) có: \({{u}_{1}}=-0,1;\,\,d=0,1\). Số hạng thứ 7 của cấp số cộng này là
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên tập số thực và có \(f\left( -1 \right)=0\). Hàm số \({f}'\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ:
.jpg.png)
Hàm số \(g(x)=\left| 2f\left( x-1 \right)-{{x}^{2}} \right|\) đồng biến trên khoảng nào?
-
Tập nghiệm S của bất phương trình \({{\left( \frac{1}{2} \right)}^{{{x}^{2}}-4x}}<8\) là:
-
Cho hình lăng trụ đều \(ABC.{A}'{B}'{C}'\) có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng \(a\sqrt{3}\). Góc giữa đường thẳng \({B}'C\) với mặt phẳng đáy bằng
-
Cho hàm số \(y=h\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau
.png)
Mệnh đề nào dưới đây đúng?
-
Một hình nón có bán kính đáy \(r=4\,cm\) và độ dài đường sinh \(l=3\,cm.\) Diện tích xung quanh của hình nón đó bằng
-
Cho số phức \(w=2-3i\). Điểm biểu diễn số phức liên hợp của w có tọa độ là
-
Tìm tập nghiệm S của phương trình \({{2}^{x+1}}=8\).
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) có đồ thị \(y={f}'\left( x \right)\) cho như hình dưới đây.
.jpg.png)
Đặt \(g\left( x \right)=2f\left( x \right)-{{\left( x+1 \right)}^{2}}\). Mệnh đề nào dưới đây đúng.
-
Số phức liên hợp của số phức \(w=1-2i\) là
-
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, tâm và bán kính của mặt cầu \(\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+4x-2y+6z+5=0\) là
-
Đạo hàm của hàm số \(y={{2021}^{x}}\) là:
-
Cho khối lăng trụ có diện tích đáy là \({{a}^{2}}\) và chiều cao bằng 2a. Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng
-
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có độ dài cạnh đáy bằng 3 và độ dài cạnh bên bằng \(2\sqrt{3}\) (tham khảo hình bên). Khoảng cách từ S đến mặt phẳng \(\left( ABC \right)\) bằng
.png)
-
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A và có \(AB=a,\,BC=a\sqrt{3}\). Mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng \(\left( ABC \right)\). Tính thể tích V của khối khóp S.ABC.
-
Đồ thị hàm số \(y=-4{{x}^{4}}-5{{x}^{2}}\) cắt trục hoành tại bao nhiêu điểm?
