Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\). Biết \(f\left( 6 \right)=1\) và \(\int\limits_{0}^{1}{xf\left( 6x \right)\operatorname{d}x}=1\), khi đó \(\int\limits_{0}^{6}{{{x}^{2}}{f}'\left( x \right)\operatorname{d}x}\) bằng
Suy nghĩ trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐáp án D
Xét tích phân \(I=\int\limits_{0}^{1}{xf\left( 6x \right)\operatorname{d}x}=1\).
Đặt \(t=6x\Rightarrow \operatorname{d}x=\frac{1}{6}\operatorname{d}t\) và \(x=\frac{1}{6}t\)
Khi x=0 thì t=0. Khi x=1 thì t=6.
Do đó \(I=\int\limits_{0}^{6}{\frac{1}{6}tf\left( t \right).\frac{1}{6}\operatorname{d}t}=\frac{1}{36}\int\limits_{0}^{6}{tf\left( t \right)\operatorname{d}t}\),
Suy ra \(\frac{1}{36}\int\limits_{0}^{6}{tf\left( t \right)\operatorname{d}t}=1\Rightarrow \int\limits_{0}^{6}{tf\left( t \right)\operatorname{d}t}=36\)
\(\Rightarrow \int\limits_{0}^{6}{tf\left( t \right)\operatorname{d}t}=36\)
\(\Rightarrow \int\limits_{0}^{6}{xf\left( x \right)\operatorname{d}x}=36\)
Xét tích phân \(J=\int\limits_{0}^{6}{{{x}^{2}}{f}'\left( x \right)\operatorname{d}x}\)
Đặt \(\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} u = {x^2}\\ {\mathop{\rm d}\nolimits} v = f'\left( x \right){\mathop{\rm d}\nolimits} x \end{array} \right.\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {\mathop{\rm d}\nolimits} u = 2x{\mathop{\rm d}\nolimits} x\\ v = f\left( x \right) \end{array} \right. \end{array}\),
ta có
\(J=\int\limits_{0}^{6}{{{x}^{2}}{f}'\left( x \right)\operatorname{d}x}\)
\(=\left. {{x}^{2}}f\left( x \right) \right|_{0}^{6}-\int\limits_{0}^{6}{2xf\left( x \right)\operatorname{d}x}\)
\(=\left. {{x}^{2}}f\left( x \right) \right|_{0}^{6}-2\int\limits_{0}^{6}{xf\left( x \right)\operatorname{d}x}\)
\(={{6}^{2}}.f\left( 6 \right)-{{0}^{2}}.f\left( 0 \right)-2.36=-36\).
Câu hỏi liên quan
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)\), bảng biến thiên của hàm số \({f}'\left( x \right)\) như sau:
Số điểm cực trị của hàm số \(y=f\left( 4{{x}^{2}}-4x \right)\) là
-
Trong không gian Oxyz, cho điểm \(A\left( 0;3;-2 \right)\). Xét đường thẳng d thay đổi, song song với trục Oz và cách trục Oz một khoảng bằng 2. Khi khoảng cách từ A đến d nhỏ nhất, d đi qua điểm nào dưới đây?
-
Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng \(\left( ABC \right). SA=\sqrt{2}a\), tam giác ABC vuông cân tại B và AB=a. Góc giữa đường thẳng \(SC\) và mặt phẳng \(\left( ABC \right)\) bằng
-
Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+2y-2z-7=0\). Bán kính của mặt cầu đã cho bằng
-
Với a là số thực dương tùy ý, \({{\log }_{2}}{{a}^{3}}\) bằng
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau:
Số nghiệm thực của phương trình $2f\left( x \right)-3=0$ là
-
Cho hình trụ có chiều cao bằng \(3\sqrt{2}\). Cắt hình trụ bởi mặt phẳng song song với trục và cách trục một khoảng bằng 1, thiết diện thu được có diện tích bằng \(12\sqrt{2}\). Diện tích xung quanh của hình trụ đã cho bằng
-
Cho a; b là hai số thực dương thỏa mãn \({{a}^{2}}{{b}^{3}}=16\). Giá trị của \(2{{\log }_{2}}a+3{{\log }_{2}}b\) bằng
-
Cho hai số phức \({{z}_{1}}=1+i\) và \({{z}_{2}}=2+i\). Trên mặt phẳng Oxy, điểm biểu diễn số phức \({{z}_{1}}+2{{z}_{2}}\) có tọa độ là
-
Thể tích của khối lăng trụ có diện tích đáy B và chiều cao h là
-
Cho số phức z thỏa \((2+i)z-4(\overline{z}-i)=-8+19i\). Môđun của z bằng
-
Cho hai hàm số \(y=\frac{x-1}{x}+\frac{x}{x+1}+\frac{x+1}{x+2}+\frac{x+2}{x+3}\) và \(y=\left| x+2 \right|-x-m\) (m là tham số thực) có đồ thị lần lượt là \(\left( {{C}_{1}} \right)\) và \(\left( {{C}_{2}} \right)\). Tập hợp tất cả các giá trị của m để \(\left( {{C}_{1}} \right)\) và \(\left( {{C}_{2}} \right)\) cắt nhau tại đúng 4 điểm phân biệt là
-
Trong không gian Oxyz, hình chiếu vuông góc của điểm \(M\left( 2;1;-1 \right)\) trên trục Oy có tọa độ là
-
Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)=\frac{2x+1}{{{\left( x+2 \right)}^{2}}}\) trên khoảng \(\left( -2;+\infty \right)\) là:
-
Cho số phức z thỏa mãn \(\left| z \right|=\sqrt{2}\). Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp các điểm biểu diễn của số phức w thỏa mãn \(w=\frac{2+iz}{1+z}\) là một đường tròn có bán kính bằng
-
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm \(A\left( 2;1;2 \right)\) và \(B\left( 6;5;-4 \right)\). Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB có phương trình là
-
Cho phương trình \({{\log }_{9}}{{x}^{2}}-{{\log }_{3}}\left( 5x-1 \right)=-{{\log }_{3}}m\) (\(m\) là tham số thực). Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình đã cho có nghiệm
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau:
Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là
-
Thể tích của khối nón có chiều cao h và bán kính đáy r là
-
Gọi \({{z}_{1}},{{z}_{2}}\) là hai nghiệm phức của phương trình \({{z}^{2}}-4z+5=0\). Gái trị của \(z_{1}^{2}+z_{2}^{2}\) bằng
