Cho hàm số \(f\left( x \right)\) là hàm số đa thức bậc bốn. Biết \(f\left( 0 \right)=0\) và đồ thị hàm số \(y={f}'\left( x \right)\) có hình vẽ bên dưới.
.PNG)
Tập nghiệm của phương trình \(f\left( \left| 2\sin x-1 \right|-1 \right)=m\) (với \(m\) là tham số) trên đoạn \(\left[ 0;3\pi\right]\) có tất cả bao nhiêu phần tử?
Suy nghĩ trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiChọn D
Đồ thị đã cho là đồ thị hàm số bậc ba có hai điểm cực trị \(x=0\) và \(x=2\) nên có dạng \({f}'\left( x \right)=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d\).
Lần lượt thay thế các dữ kiện từ hình vẽ, ta được
\(\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} d = 2\\ c = 0\\ 3 \cdot a \cdot {2^2} + 2 \cdot b \cdot 2 = 0\\ - {a^3} + b + d = - 2 \end{array} \right.\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = 1\\ b = - 3\\ c = 0\\ d = 2 \end{array} \right. \end{array}\)
Suy ra \({f}'\left( x \right)={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+2\)\( \Rightarrow f\left( x \right)=\frac{{{x}^{4}}}{4}-{{x}^{3}}+2x+C\).
Mà \(f\left( 0 \right)=0\)\( \Rightarrow C=0\Rightarrow f\left( x \right)=\frac{{{x}^{4}}}{4}-{{x}^{3}}+2x\).
Ta có \({f}'\left( x \right)=0\)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=1 \\ & x=1-\sqrt{3} \\ & x=1+\sqrt{3} \\ \end{align} \right.\)
Suy ra bảng biến thiên
Từ đó ta có bảng biến thiên của \(f\left( x-1 \right)\)
Vì \(-1\le \sin x\le 1,\forall x\in \left[ 0;3\pi\right]\) nên \(0\le \left| 2\sin x-1 \right|\le 3\).
Đặt \(t=\left| 2\sin x-1 \right|\), \(t\in \left[ 0;3 \right]\)
Dựa vào bảng biến thiên, suy ra phương trình \(f\left( t-1 \right)=m\) có tối đa \(2\) nghiệm \(t=h\), \(t=k\).
Do đó
\(\begin{array}{l} \left[ \begin{array}{l} 2\sin x - 1 = \pm h\\ 2\sin x - 1 = \pm k \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \sin x = \frac{{ \pm h + 1}}{2}\\ \sin x = \frac{{ \pm k + 1}}{2} \end{array} \right. \end{array}\)
Trên \(\left[ 0;3\pi\right]\), mỗi phương trình có nhiều nhất \(4\) nghiệm, do đó phương trình đã cho có nhiều nhất \(16\) nghiệm.
Đề thi thử tốt nghiệp THPT môn Toán năm 2023
Trường THPT Lương Thế Vinh
Câu hỏi liên quan
-
Nghiệm của phương trình \({{2}^{x-1}}=8\) là
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có bảng xét dấu đạo hàm như hình vẽ
Hàm số đã cho có bao nhiêu điểm cực trị
-
Họ các nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)={{3}^{2x-1}}\) là
-
Giả sử hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên. Biết rằng \(G\left( x \right)={{x}^{3}}\) là một nguyên hàm của \(g\left( x \right)={{e}^{-2x}}f\left( x \right)\) trên \(\mathbb{R}\). Họ tất cả các nguyên hàm của \({{e}^{-2x}}{f}'\left( x \right)\) là
-
Cho hàm số \(y=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d\) (với \(a,b,c,d\in \mathbb{R}\)) có đồ thị như hình vẽ
.PNG)
Có bao nhiêu số dương trong các số \(a,b,c,d\)?
-
Trong không gian \(Oxyz\), đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(A\left( -1;-1;1 \right)\) và nhận \(\overrightarrow{u}=\left( 1;2;3 \right)\) làm vectơ chỉ phương có phương trình chính tắc là
-
Hàm số \(f\left( x \right)={{x}^{4}}{{\left( x-1 \right)}^{2}}\) có bao nhiêu điểm cực trị?
-
Cho hàm số bậc ba \(y=f\left( x \right)\)có đồ thị như hình vẽ. Phương trình \(f\left( {{x}^{2}} \right)+1=0\) có bao nhiêu nghiệm?
-
Xét tất cả các số thực dương \(x;y\) thỏa mãn \(\frac{x+y}{10}+\log \left( \frac{1}{2x}+\frac{1}{2y} \right)=1+2xy\). Khi biểu thức \(\frac{4}{{{x}^{2}}}+\frac{1}{{{y}^{2}}}\) đạt giá trị nhỏ nhất, tích \(xy\) bằng
-
Gọi \({{z}_{1}}\), \({{z}_{2}}\) là các nghiệm phức của phương trình \({{z}^{2}}-3z+5=0\). Môđun của số phức \(\left( 2{{{\bar{z}}}_{1}}-3 \right)\left( 2{{{\bar{z}}}_{2}}-3 \right)\) bằng
-
Xét các số phức \(z=a+bi,\,\,\left( a,\,\,b\in \mathbb{R} \right)\) thỏa mãn \(\left| z-2+3i \right|=4\) và \(\left| z+1-4i \right|+\left| z-9 \right|\) đạt giá trị lớn nhất. Khi đó \(5a-2b\) bằng
-
Tập xác định của hàm số \(y=\log x+\log \left( 3-x \right)\) là
-
Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):{{x}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z+3 \right)}^{2}}=24\) cắt mặt phẳng \(\left( \alpha \right):x+y=0\) theo giao tuyến là đường tròn \(\left( C \right)\). Tìm hoành độ của điểm \(M\) thuộc đường tròn \(\left( C \right)\) sao cho khoảng cách từ \(M\) đến \(A\left( 6;-10;3 \right)\) lớn nhất.
-
Cho hình lăng trụ đứng \(ABC.{A}'{B}'{C}'\) có \(AB=A{A}'=2a\), \(AC=a\), \(\widehat{BAC}=120{}^\circ \). Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(A.BC{C}'{B}'\) bằng
-
Đạo hàm của hàm số \(f\left( x \right)=\frac{{{2}^{x}}-1}{{{2}^{x}}+1}\) là
-
Chu vi đường tròn lớn của mặt cầu \(S\left( O;R \right)\) là
-
Cho các số thực dương \(a\,,\,b\)thỏa mãn \({{\log }_{2}}\left( a+b \right)=3+{{\log }_{2}}ab\). Giá trị \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\)bằng
-
Cho khối lăng trụ tam giác \(ABC.{A}'{B}'{C}'\)có cạnh \(A{A}'=2a\) và tạo với mặt phẳng đáy một góc bằng \(60{}^\circ \), diện tích tam giác \(ABC\)bằng \({{a}^{2}}\). Thể tích khối lăng trụ \(ABC.{A}'{B}'{C}'\)bằng
-
Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( P \right):ax+by+cz+7=0\) qua điểm \(A\left( 2;0;1 \right)\), vuông góc với mặt phẳng \(\left( Q \right):3x-y+z+1=0\) và tạo với mặt phẳng \(\left( R \right):x-y+2z-1=0\) một góc \({{60}^{\text{o}}}\). Tổng \(a+b+c\) bằng
-
Một chiếc xe đua \({{F}_{1}}\) đạt tới vận tốc lớn nhất là \(360\,km/h\). Đồ thị bên biểu thị vận tốc \(v\) của xe trong \(5\) giây đầu tiên kể từ lúc xuất phát. Đồ thị trong \(2\) giây đầu tiên là một phần của parabol đỉnh tại gốc tọa độ \(O\), giây tiếp theo là đoạn thẳng và sau đúng \(3\) giây thì xe đạt vận tốc lớn nhất. Biết rằng mỗi đơn vị trục hoành biểu thị \(1\) giây, mỗi đơn vị trục tung biểu thị \(10\,m/s\) và trong \(5\) giây đầu xe chuyển động theo đường thẳng. Hỏi trong \(5\) giây đó xe đã đi được quãng đường là bao nhiêu?
