Cho hàm số \(f\left( x \right)\) là hàm số đa thức bậc bốn. Biết \(f\left( 0 \right)=0\) và đồ thị hàm số \(y={f}'\left( x \right)\) có hình vẽ bên dưới.
.PNG)
Tập nghiệm của phương trình \(f\left( \left| 2\sin x-1 \right|-1 \right)=m\) (với \(m\) là tham số) trên đoạn \(\left[ 0;3\pi\right]\) có tất cả bao nhiêu phần tử?
Suy nghĩ trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiChọn D
Đồ thị đã cho là đồ thị hàm số bậc ba có hai điểm cực trị \(x=0\) và \(x=2\) nên có dạng \({f}'\left( x \right)=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d\).
Lần lượt thay thế các dữ kiện từ hình vẽ, ta được
\(\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} d = 2\\ c = 0\\ 3 \cdot a \cdot {2^2} + 2 \cdot b \cdot 2 = 0\\ - {a^3} + b + d = - 2 \end{array} \right.\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = 1\\ b = - 3\\ c = 0\\ d = 2 \end{array} \right. \end{array}\)
Suy ra \({f}'\left( x \right)={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+2\)\( \Rightarrow f\left( x \right)=\frac{{{x}^{4}}}{4}-{{x}^{3}}+2x+C\).
Mà \(f\left( 0 \right)=0\)\( \Rightarrow C=0\Rightarrow f\left( x \right)=\frac{{{x}^{4}}}{4}-{{x}^{3}}+2x\).
Ta có \({f}'\left( x \right)=0\)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=1 \\ & x=1-\sqrt{3} \\ & x=1+\sqrt{3} \\ \end{align} \right.\)
Suy ra bảng biến thiên
Từ đó ta có bảng biến thiên của \(f\left( x-1 \right)\)
Vì \(-1\le \sin x\le 1,\forall x\in \left[ 0;3\pi\right]\) nên \(0\le \left| 2\sin x-1 \right|\le 3\).
Đặt \(t=\left| 2\sin x-1 \right|\), \(t\in \left[ 0;3 \right]\)
Dựa vào bảng biến thiên, suy ra phương trình \(f\left( t-1 \right)=m\) có tối đa \(2\) nghiệm \(t=h\), \(t=k\).
Do đó
\(\begin{array}{l} \left[ \begin{array}{l} 2\sin x - 1 = \pm h\\ 2\sin x - 1 = \pm k \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \sin x = \frac{{ \pm h + 1}}{2}\\ \sin x = \frac{{ \pm k + 1}}{2} \end{array} \right. \end{array}\)
Trên \(\left[ 0;3\pi\right]\), mỗi phương trình có nhiều nhất \(4\) nghiệm, do đó phương trình đã cho có nhiều nhất \(16\) nghiệm.
Đề thi thử tốt nghiệp THPT môn Toán năm 2023
Trường THPT Lương Thế Vinh
Câu hỏi liên quan
-
Trong không gian \(Oxyz\), đường thẳng \(\Delta :\frac{x}{1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z}{-1}\) song song với mặt phẳng nào sau đây?
-
Đồ thị hàm số \(y=\frac{x+3}{{{x}^{3}}-3x}\) có bao nhiêu đường tiêm cận?
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) nhận giá trị dương và có đạo hàm liên tục trên \(\left[ 1;\ e \right]\). Biết \(f\left( 1 \right)=1\) và \(x.f\left( x \right).{f}'\left( x \right)={{x}^{2}}+{{f}^{2}}\left( x \right)\) với mọi \(x\in \left[ 1;\ e \right].\) Khi đó, \(\int\limits_{1}^{e}{\frac{f\left( x \right)}{{{x}^{2}}}dx}\) bằng
-
Trong không gian \(Oxyz\), đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(A\left( -1;-1;1 \right)\) và nhận \(\overrightarrow{u}=\left( 1;2;3 \right)\) làm vectơ chỉ phương có phương trình chính tắc là
-
Giả sử \(f\left( x \right)\) là hàm liên tục \(\left( 0;\,+\infty \right)\) và diện tích hình phẳng được kẻ sọc hình bên bằng \(3\). Tích phân \(\int\limits_{0}^{1}{f\left( 2x \right)\text{d}x}\) bằng
.PNG)
-
Một tổ học sinh có 12 bạn, gồm 7 nam và 5 nữ. Cần chọn một nhóm 3 học sinh của tổ đó để làm vệ sinh lớp học. Hỏi có bao nhiêu cách chọn sao cho trong nhóm có cả nam và nữ?
-
Cho hàm số \(y=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d\) (với \(a,b,c,d\in \mathbb{R}\)) có đồ thị như hình vẽ
.PNG)
Có bao nhiêu số dương trong các số \(a,b,c,d\)?
-
Trong không gian \(Oxyz,\) cho đường thẳng \(\Delta \) là giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right):x+y+z+1=0\) và \(\left( \beta \right):x+2y+3z+4=0.\) Một vectơ chỉ phương của \(\Delta \) có tọa độ là
-
Biết khoảng (a;b) là tập hợp tất cả các giá trị dương của tham số m để phương trình \(3{{\log }_{27}}\left( 2{{\text{x}}^{2}}-x+2m-4{{m}^{2}} \right)+{{\log }_{\frac{1}{\sqrt{3}}}}\sqrt{{{x}^{2}}+mx-2{{m}^{2}}}=0\left( 1 \right)\) có hai nghiệm \({{x}_{1}},{{x}_{2}}\)thỏa mãn \(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}>1\). Tính K=5a+2b.
-
Cho khối chóp \({S.ABCD}\) có đáy \({ABCD}\) là hình thoi, \({\widehat{DAB}=60{}^\circ }\), \({AD=a}\), tam giác \({SBC}\) cân tại \({S}\), tam giác \({SCD}\) vuông tại \({C}\), khoảng cách giữa \({SA}\) và \({CD}\) bằng \({\frac{4a}{5}}\). Thể tích của khối chóp đã cho bằng
-
Họ các nguyên hàm của hàm số \(f(x)=\sin 3x\) là
-
Giả sử hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên. Biết rằng \(G\left( x \right)={{x}^{3}}\) là một nguyên hàm của \(g\left( x \right)={{e}^{-2x}}f\left( x \right)\) trên \(\mathbb{R}\). Họ tất cả các nguyên hàm của \({{e}^{-2x}}{f}'\left( x \right)\) là
-
Có bao nhiêu số nguyên \(m\)để hàm số \(f\left( x \right)=3x+m\sqrt{{{x}^{2}}+1}\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\)?
-
Cho khối lăng trụ tam giác \(ABC.{A}'{B}'{C}'\)có cạnh \(A{A}'=2a\) và tạo với mặt phẳng đáy một góc bằng \(60{}^\circ \), diện tích tam giác \(ABC\)bằng \({{a}^{2}}\). Thể tích khối lăng trụ \(ABC.{A}'{B}'{C}'\)bằng
-
Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):{{x}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z+3 \right)}^{2}}=24\) cắt mặt phẳng \(\left( \alpha \right):x+y=0\) theo giao tuyến là đường tròn \(\left( C \right)\). Tìm hoành độ của điểm \(M\) thuộc đường tròn \(\left( C \right)\) sao cho khoảng cách từ \(M\) đến \(A\left( 6;-10;3 \right)\) lớn nhất.
-
Tập xác định của hàm số \(y=\log x+\log \left( 3-x \right)\) là
-
Xét tất cả các số thực dương \(x;y\) thỏa mãn \(\frac{x+y}{10}+\log \left( \frac{1}{2x}+\frac{1}{2y} \right)=1+2xy\). Khi biểu thức \(\frac{4}{{{x}^{2}}}+\frac{1}{{{y}^{2}}}\) đạt giá trị nhỏ nhất, tích \(xy\) bằng
-
Cho hình lăng trụ đứng \(ABC.{A}'{B}'{C}'\) có \(AB=A{A}'=2a\), \(AC=a\), \(\widehat{BAC}=120{}^\circ \). Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(A.BC{C}'{B}'\) bằng
-
Cho hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) có cạnh đáy bằng \(a\), \(O\) là tâm mặt đáy. Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(SO\) và \(CD\) bằng
-
Cho các số phức \(z=2+i\) và \(w=3-i.\) Phần thực của số phức \(z+w\) bằng:
