Cho hàm số \(f\left( x \right)\) là hàm số đa thức bậc bốn. Biết \(f\left( 0 \right)=0\) và ĐTHS \(y={f}'\left( x \right)\) có hình vẽ:
.PNG)
Tập nghiệm của phương trình \(f\left( \left| 2\sin x-1 \right|-1 \right)=m\) (với \(m\) là tham số) trên đoạn \(\left[ 0;3\pi\right]\) có tất cả bao nhiêu phần tử?
Suy nghĩ trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐồ thị đã cho là đồ thị hàm số bậc ba có hai điểm cực trị \(x=0\) và \(x=2\) nên có dạng \({f}'\left( x \right)=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d\).
Lần lượt thay thế các dữ kiện từ hình vẽ, ta được
\(\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} d = 2\\ c = 0\\ 3 \cdot a \cdot {2^2} + 2 \cdot b \cdot 2 = 0\\ - {a^3} + b + d = - 2 \end{array} \right.\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = 1\\ b = - 3\\ c = 0\\ d = 2 \end{array} \right. \end{array}\)
Suy ra \({f}'\left( x \right)={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+2\)\( \Rightarrow f\left( x \right)=\frac{{{x}^{4}}}{4}-{{x}^{3}}+2x+C\).
Mà \(f\left( 0 \right)=0\)\( \Rightarrow C=0\Rightarrow f\left( x \right)=\frac{{{x}^{4}}}{4}-{{x}^{3}}+2x\).
Ta có \({f}'\left( x \right)=0\)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=1 \\ & x=1-\sqrt{3} \\ & x=1+\sqrt{3} \\ \end{align} \right.\)
Suy ra bảng biến thiên
Từ đó ta có bảng biến thiên của \(f\left( x-1 \right)\)
Vì \(-1\le \sin x\le 1,\forall x\in \left[ 0;3\pi\right]\) nên \(0\le \left| 2\sin x-1 \right|\le 3\).
Đặt \(t=\left| 2\sin x-1 \right|\), \(t\in \left[ 0;3 \right]\)
Dựa vào bảng biến thiên, suy ra phương trình \(f\left( t-1 \right)=m\) có tối đa \(2\) nghiệm \(t=h\), \(t=k\).
Do đó
\(\begin{array}{l} \left[ \begin{array}{l} 2\sin x - 1 = \pm h\\ 2\sin x - 1 = \pm k \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \sin x = \frac{{ \pm h + 1}}{2}\\ \sin x = \frac{{ \pm k + 1}}{2} \end{array} \right. \end{array}\)
Trên \(\left[ 0;3\pi\right]\), mỗi phương trình có nhiều nhất \(4\) nghiệm, do đó phương trình đã cho có nhiều nhất \(16\) nghiệm.
Chọn D
Đề thi thử Tốt nghiệp THPT môn Toán năm 2023-2024
Trường THPT Thủ Thiêm
Câu hỏi liên quan
-
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành. Có mặt bên \(SAB\) là tam giác đều cạnh \(\sqrt{3}a\), \(ABC\) là tam giác vuông tại \(A\) có cạnh \(AC=a\), góc giữa \(AD\) và \((SAB)\) bằng \(30{}^\circ \). Thể tích khối chóp \(S.ABCD\) bằng?
-
Cho HS \(f\left( x \right)\) nhận giá trị dương và có đạo hàm liên tục trên \(\left[ 1;\ e \right]\). Biết \(f\left( 1 \right)=1\) và \(x.f\left( x \right).{f}'\left( x \right)={{x}^{2}}+{{f}^{2}}\left( x \right)\) với mọi \(x\in \left[ 1;\ e \right].\) Khi đó, \(\int\limits_{1}^{e}{\frac{f\left( x \right)}{{{x}^{2}}}dx}\) bằng?
-
Cho CSC \(\left( {{u}_{n}} \right)\) có \({{u}_{1}}=1\) và \({{u}_{3}}=\frac{1}{3}\). Công sai của \(\left( {{u}_{n}} \right)\) bằng?
-
Cho hàm số bậc ba \(y=f\left( x \right)\) có đồ thị như hình. Phương trình \(f\left( {{x}^{2}} \right)+1=0\) có bao nhiêu nghiệm?
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như hình. Giá trị lớn nhất của hàm số đã cho trên đoạn \(\left[ -3;3 \right]\) bằng?
.png)
-
Cho các số thực dương sau \(a\,,\,b\) thỏa mãn \({{\log }_{2}}\left( a+b \right)=3+{{\log }_{2}}ab\). Giá trị \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\) bằng?
-
Cho \(10\) học sinh gồm \(5\) bạn lớp \(12A\) và \(5\) bạn lớp \(12B\) tham gia một trò chơi. Để thực hiện trò chơi, người điều khiển ghép ngẫu nhiên \(10\) học sinh đó thành \(5\) cặp. Xác suất để không có cặp nào gồm hai học sinh cùng lớp bằng?
-
Cho khối lăng trụ tam giác \(ABC.{A}'{B}'{C}'\) có cạnh \(A{A}'=2a\) và tạo với mp đáy 1 góc bằng \(60{}^\circ \), diện tích tam giác \(ABC\) bằng \({{a}^{2}}\). Thể tích khối lăng trụ \(ABC.{A}'{B}'{C}'\) bằng?
-
Tính chu vi đường tròn lớn của mặt cầu \(S\left( O;R \right)\) là?
-
Xét tất cả các số thực dương \(x;y\) thỏa \(\frac{x+y}{10}+\log \left( \frac{1}{2x}+\frac{1}{2y} \right)=1+2xy\). Khi biểu thức \(\frac{4}{{{x}^{2}}}+\frac{1}{{{y}^{2}}}\) đạt giá trị nhỏ nhất, tích \(xy\) bằng?
-
Biết khoảng (a; b) là tập hợp tất cả các giá trị dương của tham số m để pt \(3{{\log }_{27}}\left( 2{{\text{x}}^{2}}-x+2m-4{{m}^{2}} \right)+{{\log }_{\frac{1}{\sqrt{3}}}}\sqrt{{{x}^{2}}+mx-2{{m}^{2}}}=0\left( 1 \right)\) có 2 nghiệm \({{x}_{1}},{{x}_{2}}\)thỏa mãn \(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}>1\). Tính K = 5a + 2b?
-
Có tất cả bao nhiêu số phức \(z\) đôi một khác nhau thỏa mãn \(\left| z+i \right|=2\) và \({{\left( z-2 \right)}^{4}}\) là số thực?
-
Cho biết \(\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)}dx=\frac{1}{3}\) và \(\int\limits_{0}^{1}{g\left( x \right)}dx=\frac{4}{3}\). Khi đó \(\int\limits_{0}^{1}{\left( g\left( x \right)-f\left( x \right) \right)}dx\) bằng?
-
Cho khối trụ có đường cao bằng \(2\), chu vi của thiết diện qua trục gấp \(3\) lần đường kính đáy. Thể tích của khối trụ đó bằng?
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có đồ thị như hình. Hỏi phương trình \(2f\left( x \right)=5\) có bao nhiêu nghiệm trên đoạn \(\left[ -1;2 \right]\)?
-
Cho hình lăng trụ đứng \(ABC.{A}'{B}'{C}'\) có \(AB=A{A}'=2a\), \(AC=a\), \(\widehat{BAC}=120{}^\circ \). Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(A.BC{C}'{B}'\)?
-
Cho đồ thị \(\left( C \right):y=\frac{x}{x-1}\). Đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(I\left( 1;1 \right)\) cắt \(\left( C \right)\) tại 2 điểm phân biệt \(A\) và \(B\). Khi diện tích tam giác \(MAB\) đạt giá trị nhỏ nhất, với \(M\left( 0;3 \right)\) thì độ dài đoạn \(AB\) bằng?
-
Hãy cho biết nghiệm của phương trình \({{2}^{x-1}}=8\) là?
-
Họ các nguyên hàm của HS \(f(x)=\sin 3x\) là?
-
Cho biết họ các nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)={{3}^{2x-1}}\) là?
