Cho hàm số f(x) có \(f\left( 1 \right) = \frac{1}{3}\) và \(f'\left( x \right) = \sqrt {{{\ln }^2}x + 1} .\frac{{\ln x}}{x}\) với x > 0. Khi đó \(\int\limits_1^2 {\frac{{f\left( x \right)}}{{x\sqrt {{{\ln }^2}x + 1} }}{\rm{d}}x} \) bằng
Suy nghĩ trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiXét \(\int {f'\left( x \right)} .{\rm{d}}x = \int {\sqrt {l{n^2}x + 1} .\frac{{lnx}}{x}} .{\rm{d}}x\).
Đặt \(\sqrt {l{n^2}x + 1} = t \Rightarrow l{n^2}x = {t^2} - 1 \Rightarrow \frac{{lnx}}{x}.{\rm{d}}x = t.{\rm{d}}t\).
Suy ra: \(\int {f'\left( x \right){\rm{d}}x} = \int {t.t{\rm{d}}t} = \frac{{{t^3}}}{3} + C = \frac{{\sqrt {{{\left( {{{\ln }^2}x + 1} \right)}^3}} }}{3} + C\)
Vì vậy: \(f\left( x \right) = \frac{{\sqrt {{{\left( {l{n^2}x + 1} \right)}^3}} }}{3} + C\).
Do \(f\left( 1 \right) = \frac{1}{3} \Leftrightarrow \frac{1}{3} + C = \frac{1}{3} \Leftrightarrow C = 0\). Suy ra: \(f\left( x \right) = \frac{{\sqrt {{{\left( {l{n^2}x + 1} \right)}^3}} }}{3}\).
Vậy \(\int\limits_1^2 {\frac{{f\left( x \right)}}{{x\sqrt {{{\ln }^2}x + 1} }}dx} = \int\limits_1^2 {\frac{{\sqrt {{{({{\ln }^2}x + 1)}^3}} }}{{3x\sqrt {{{\ln }^2}x + 1} }}dx} = \int\limits_1^2 {\frac{{{{\ln }^2}x + 1}}{{3x}}dx} = \frac{1}{3}\int\limits_1^2 {\left( {{{\ln }^2}x + 1} \right)d(\ln x)}\)
\( = \left. {\frac{1}{3}\left( {\frac{1}{3}{{\ln }^3}x + \ln x} \right)} \right|_1^2 = \frac{1}{3}\left( {\frac{1}{3}{{\ln }^3}2 + \ln 2} \right) = \frac{{\ln 2\left( {{{\ln }^2}2 + 3} \right)}}{9}\).
Đề thi thử THPT QG năm 2021 môn Toán
Trường THPT Nguyễn Văn Cừ
Câu hỏi liên quan
-
Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau
.png)
Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là
-
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy. Góc giữa SC và mặt đáy bằng 45O. Gọi E là trung điểm cạnh BC (minh họa như hình vẽ bên dưới).
.png)
Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng DE và SC
-
Cho hai số phức \({z_1} = - 3 - i\) và \({z_2} = 1 - i\). Mô đun của số phức \(w = 2{z_1} - \overline {{z_2}} \) bằng
-
Trong không gian Oxyz, mặt cầu \((S):{x^2} + {y^2} + {z^2} + 8x - 4y - 6z - 7 = 0\) có tâm và bán kính là:
-
Cho cấp số nhân (un) với u1 = 2 và u4 = 16. Công bội của cấp số nhân đã cho bằng
-
Cho hình nón tròn xoay có chiều cao bằng 3a. Một thiết diện đi qua đỉnh của hình nón có diện tích bằng 20a2 và khoảng cách từ tâm đáy đến mặt phẳng chứa thiết diện là \(\frac{{12}}{5}a\). Tính thể tích của khối nón giới hạn bởi hình nón đã cho.
-
Cho hàm số bậc ba y = f(x) có đồ thị như hình vẽ bên dưới
.png)
Số nghiệm của phương trình \(3f(x) - 4 = 0\) là
-
Cho khối hộp chữ nhật có độ dài ba kích thước lần lượt là 4; 6 ;8. Thể tích khối hộp chữ nhật đã cho bằng
-
Số giao điểm của đường cong \(y = {x^3} - 2{x^2} + x - 1\) và đường thẳng y = 1 - 2x là
-
Tìm số phức z biết \(\overline z = 1 - 2i\) là
-
Cho khối cầu có thể tích \(V = 288\pi \). Bán kính của khối cầu bằng
-
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = {x^3} - 3x + 4\) trên đoạn [0;2].
-
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số \(y = \frac{m}{3}{x^3} - 2m{x^2} + \left( {3m + 6} \right)x + 2020\) đồng biến trên R?
-
Cho các số dương a, b, c thỏa mãn \(\ln \frac{a}{c} + \ln \frac{b}{c} = 0\). Khẳng định nào sau đây đúng?
-
Kí hiệu z0 là nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình \({z^2} + 2z + 10 = 0\). Trên mặt phẳng tọa độ, điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn số phức \(w = {i^{2019}}{z_0}\)?
-
Tính thể tích V của khối trụ có bán kính đáy r = 4 và chiều cao \(h = 4\sqrt 2 \).
-
Tìm tập xác định D của hàm số \(y = {\left( {2x - 1} \right)^{\frac{1}{3}}}\).
-
Cho hai số phức \({z_1} = 2 + 2i\) và \({z_2} = - 3 - i\). Phần ảo của số phức \({z_1} - \overline {{z_2}} \) là
-
Tập nghiệm của bất phương trình \({3^{x + 2}} \ge \frac{1}{9}\)
-
Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:
.png)
Giá trị cực đại của hàm số đã cho bằng
