Cho hình chóp S.ABCD có \(SC = x(0 < x < a\sqrt 3 )\), các cạnh còn lại đều bằng a. Biết rằng thể tích khối chóp S.ABCD lớn nhất khi và chỉ khi \(x = \frac{{a\sqrt m }}{n}(m,n \in N*)\). Mệnh đề nào sau đây đúng?
Suy nghĩ trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai|
Cách giải: Vì \(SA = SB = SD = a\) nên hình chiếu vuông của S trên (ABCD) trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD. Gọi H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD \( \Rightarrow SH \bot (ABCD)\). Do tam giác ABD cân tại A \( \Rightarrow H \in AC\) Dễ dàng chứng minh được: \(\Delta SBD = \Delta ABD(c.c.c) \Rightarrow SO = AO = \frac{{AC}}{2} \Rightarrow \Delta SAC\) vuông tại S (Tam giác có trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh ấy) |
|
.png)
\( \Rightarrow AC = \sqrt {S{A^2} + S{C^2}} = \sqrt {{a^2} + {x^2}} \)
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông SAC có \(SH = \frac{{SA.SC}}{{AC}} = \frac{{ax}}{{\sqrt {{a^2} + {x^2}} }}\)
Ta có
\(OA = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}\sqrt {{a^2} + {x^2}} \Rightarrow OB = \sqrt {A{B^2} - O{A^2}} = \sqrt {{a^2} - \frac{{{a^2} + {x^2}}}{4}} = \frac{{\sqrt {3{a^2} - {x^2}} }}{2} \Rightarrow BD = \sqrt {3{a^2} - {x^2}} \)
Do ABCD là hình thoi \( \Rightarrow {S_{ABCD}} = \frac{1}{2}AC.BD\). Khi đó ta có:
\({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}SH.{S_{ABCD}} = \frac{1}{6}.\frac{{ax}}{{\sqrt {{a^2} + {x^2}} }}\sqrt {{a^2} + {x^2}} .\sqrt {3{a^2} - {x^2}} = \frac{1}{6}ax\sqrt {3{a^2} - {x^2}} \)
Áp dụng BĐT Cô-si ta có: \(x\sqrt {3{a^2} - {x^2}} \le \frac{{{x^2} + 3{a^2} - {x^2}}}{2} = \frac{{3{a^2}}}{2} \Rightarrow {V_{S.ABCD}} \le \frac{1}{6}a\frac{{3{a^2}}}{2} = \frac{{{a^3}}}{4}\)
Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow {x^2} = 3{a^2} - {x^2} \Leftrightarrow x = \sqrt {\frac{{3{a^2}}}{2}} = \frac{{a\sqrt 6 }}{2} = \frac{{a\sqrt m }}{n} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m = 6\\
n = 2
\end{array} \right. \Rightarrow m + 2n = 10\)
Đề thi thử THPT QG môn Toán năm 2019
Trường THPT Chuyên Bắc Ninh lần 3
