Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình thang vuông tại A và B, \(AB = BC = a;\,\,AD = 2a\). Biết SA vuông góc với đáy (ABCD), \(SA = a\). Gọi M, N lần lượt là trung điểm SB, CD. Tính sin góc giữa đường thẳng MN và mặt phẳng (SAC).
Suy nghĩ trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiGọi P và Q lần lượt là trung điểm của AB và SC ta có : MQ // NP // BC \( \Rightarrow M,N,P,Q\) đồng phẳng.
Gọi \(F = NP \cap AC \Rightarrow \left( {MNPQ} \right) \cap \left( {SAC} \right) = QF\),
\(I = QF \cap MN \Rightarrow I = MN \cap \left( {SAC} \right)\).
Gọi E là trung điểm của AD, ABCE là hình vuông nên CE = a.
Xét tam giác ACD có \(CE = \dfrac{1}{2}AD = a \Rightarrow \Delta ACD\) vuông tại C \( \Rightarrow CD \bot AC\).
Ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}CD \bot AC\\CD \bot SA\,\,\left( {SA \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow NC \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow \)C là hình chiếu của N trên (SAC)
.JPG)
\( \Rightarrow \angle \left( {MN;\left( {SAC} \right)} \right) = \angle \left( {NI;CI} \right) = \angle NIC\).
Xét tam giác vuông CED có \(CD = \sqrt {C{E^2} + E{D^2}} = a\sqrt 2 \Rightarrow CN = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\).
Có \(MO = \dfrac{1}{2}BC = \dfrac{a}{2};\,\,NP = \dfrac{{AD + BC}}{2} = \dfrac{{3a}}{2}\); \(\dfrac{{PF}}{{BC}} = \dfrac{{AP}}{{AB}} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow PF = \dfrac{a}{2} \Rightarrow FN = a\).
Áp dụng định lí Ta-lét ta có: \(\dfrac{{IN}}{{IM}} = \dfrac{{NF}}{{MQ}} = 2 \Rightarrow IN = 2IM \Rightarrow IN = \dfrac{2}{3}MN\).
Xét tam giác vuông MNP có \(MN = \sqrt {M{P^2} + N{P^2}} = \sqrt {{{\left( {\dfrac{{SA}}{2}} \right)}^2} + N{P^2}} = \dfrac{{a\sqrt {10} }}{2} \Rightarrow IN = \dfrac{2}{3}.\dfrac{{a\sqrt {10} }}{2} = \dfrac{{a\sqrt {10} }}{3}\).
Xét tam giác vuông NIC : \(\sin \angle NIC = \dfrac{{CN}}{{NI}} = \dfrac{{\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}}}{{\dfrac{{a\sqrt {10} }}{3}}} = \dfrac{{3\sqrt 5 }}{{10}}\).
Chọn C.
Câu hỏi liên quan
-
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là khẳng định sai?
-
Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) có công bội q và \({u_1} > 0\). Điều kiện của q để cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) có ba số hạng liên tiếp là độ dài ba cạnh của một tam giác là:
-
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho phương trình \(3\sqrt {x - 1} + m\sqrt {x + 1} = 2\sqrt[4]{{{x^2} - 1}}\) có hai nghiệm thực?
-
Hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} - 5\) đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
-
Trong hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có phương trình đường thẳng \(BC:\,\,x + 7y - 13 = 0\). Các chân đường cao kẻ từ B, C lần lượt là \(E\left( {2;5} \right);\,\,F\left( {0;4} \right)\). Biết tọa độ đỉnh A là \(A\left( {a;b} \right)\). Khi đó:
-
Đường cong ở hình bên là đồ thị của một trong bốn hàm số ở dưới đây. Hàm số đó là hàm số nào?
.JPG)
-
Giá trị của m làm cho phương trình \(\left( {m - 2} \right){x^2} - 2mx + m + 3 = 0\) có 2 nghiệm dương phân biệt là:
-
Cho tam giác ABC có \(A\left( {1; - 1} \right);\,\,B\left( {3; - 3} \right);\,\,C\left( {6;0} \right)\). Diện tích \(\Delta ABC\) là:
-
Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có \({u_5} = - 15\); \({u_{20}} = 60\). Tổng 20 số hạng đầu tiên của cấp số cộng là:
-
Phương trình \(\cos x - m = 0\) vô nghiệm khi m là:
-
Cho hình chóp S.ABC có \(SA = 1;\,\,SB = 2;\,\,SC = 3\) và \(\widehat {ASB} = {60^0};\,\,\widehat {BSC} = {120^0};\,\,\widehat {CSA} = {90^0}\). Tính thể tích khối chóp S.ABC.
-
Cho khối hộp \(ABCD.A’B’C’D’\) có thể tích bằng \(2018\). Gọi \(M\) là trung điểm của cạnh \(AB\). Mặt phẳng \((MB'D')\) chia khối hộp \(ABCD.A’B’C’D’\) thành hai khối đa diện. Tính thể tích của phần khối đa diện chứa đỉnh \(A\).
-
Hàm số nào sau đây đạt cực tiểu tại \(x = 0\)?
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm trên R và có đồ thi \(y = f\left( x \right)\) như hình vẽ. Xét hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {{x^2} - 2} \right)\). Mệnh đề nào sau đây sai?
.JPG)
-
Nếu hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm tại \({x_0}\) thì phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm \(M\left( {{x_0};f\left( {{x_0}} \right)} \right)\) là:
-
Giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{\sqrt {{x^2} + 2} - 2}}{{x - 2}}\) bằng:
-
Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có \(A\left( {2;1} \right);\,\,B\left( { - 1;2} \right);\,\,C\left( {3;0} \right)\). Tứ giác ABCE ABCE là hình bình hành khi tọa độ đỉnh E là cặp số nào dưới đây?
-
Cho hàm số \(y = \dfrac{{{x^2}}}{{1 - x}}\). Đạo hàm cấp 2018 của hàm số \(f\left( x \right)\) là:
-
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt đáy (ABCD) và \(SA = 2a\). Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC?
-
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số \(y = \dfrac{{mx + 1}}{{x + m}}\) đồng biến trên khoảng \(\left( {2; + \infty } \right)\).
