Cho HS \(f\left( x \right)\), biết \(f\left( 1 \right)=1,f'\left( x \right)=\frac{2x}{3x+1-\sqrt{3x+1}},\,x>0\). Khi đó \(\int\limits_{1}^{5}{f\left( x \right)\text{d}}x\) bằng?
Suy nghĩ trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có \(f\left( x \right)=\int{\frac{2x}{3x+1-\sqrt{3x+1}}\text{d}x}\)
Đặt \(t=\sqrt{3x+1}\Rightarrow x=\frac{{{t}^{2}}-1}{3}\)\(\Rightarrow dx=\frac{2}{3}t.\text{d}t\).
\(f\left( x \right)=\frac{4}{9}\int{\frac{\left( {{t}^{2}}-1 \right)t}{{{t}^{2}}-t}}\text{d}t=\frac{4}{9}\int{\left( t+1 \right)\text{d}t}\)=\(\frac{2}{9}{{t}^{2}}+\frac{4}{9}t+C=\frac{2}{9}\left( 3x+1 \right)+\frac{4}{9}\sqrt{3x+1}+C\)
Có \(f\left( 1 \right)=1\Rightarrow C=-\frac{7}{9}\) \(\Rightarrow f\left( x \right)=\frac{2x}{3}+\frac{4}{9}\sqrt{3x+1}-\frac{5}{9}\).
Khi đó
\(\int\limits_{1}^{5}{f\left( x \right)\text{d}}x=\int\limits_{1}^{5}{\left( \frac{2x}{3}+\frac{4}{9}\sqrt{3x+1}-\frac{5}{9} \right)}\text{d}x=\left. \left[ \frac{1}{3}{{x}^{2}}+\frac{8}{81}\left( 3x+1 \right)\sqrt{3x+1}-\frac{5}{9}x \right] \right|_{1}^{5}\)\(=\frac{916}{81}\).
Chọn D
Đề thi thử Tốt nghiệp THPT môn Toán năm 2023-2024
Trường THPT Quốc Trí