Cho \(\int\limits_0^1 {\frac{{x{\rm{d}}x}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}} = a + b\ln 2 + c\ln 3\) với \(a, b, c\) là các số hữu tỷ. Giá trị của \(3a+b+c\) bằng
Suy nghĩ trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\int\limits_0^1 {\frac{{x{\rm{d}}x}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}} = \int\limits_0^1 {\frac{{\left( {x + 2} \right) - 2}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}{\rm{d}}x = \int\limits_0^1 {\frac{{{\rm{d}}x}}{{x + 2}}} } - \int\limits_0^1 {\frac{{2{\rm{d}}x}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}} \)
\( = \left. {\ln \left( {x + 2} \right)} \right|_0^1 - \left. {2.\frac{{{{\left( {x + 2} \right)}^{ - 1}}}}{{ - 1}}} \right|_0^1 = \ln 3 - \ln 2 + \frac{2}{3} - 1 = - \frac{1}{3} - \ln 2 + \ln 3\)
Vậy \(a = - \frac{1}{3};b = - 1;c = 1 \Rightarrow 3a + b + c = - 1\)