Cho khối chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông cạnh \(a,\) cạnh bên \(SA=y\,\,\left( y>0 \right).\) và vuông góc với mặt phẳng đáy \(\left( ABCD \right)\). Trên cạnh \(AD\) lấy điểm \(M\) và đặt \(AM=x\,(0 < x < a).\) Tính thể tích lớn nhất \({{V}_{\max }}\) của khối chóp \(S.ABCM,\) biết \({{x}^{2}}+{{y}^{2}}={{a}^{2}}.\)
Suy nghĩ trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiChọn A
Theo đề bài, ta có \(0<x<a\)và \(y=\sqrt{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}\).
Khi đó \({{V}_{S.ABCM}}=\frac{1}{3}.{{S}_{ABCM}}.SA=\frac{1}{3}.\frac{\left( x+a \right)a}{2}.y=\frac{1}{6}a\sqrt{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}\left( x+a \right)\)
Ta xét hàm số \(f\left( x \right)=\left( x+a \right)\sqrt{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}\)với \(0<x<a\)
\({f}'\left( x \right)=\frac{-2{{x}^{2}}-ax+{{a}^{2}}}{\sqrt{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}}\)\(\Rightarrow {f}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow x=\frac{a}{2}\)
Ta có bảng biến thiên của \(f\left( x \right)\)
Vậy \(\underset{\left( 0;a \right)}{\mathop{\max }}\,f\left( x \right)=f\left( \frac{a}{2} \right)=\frac{3{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}\) suy ra \(\underset{(0;a)}{\mathop{\max }}\,{{V}_{S.ABCM}}=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{8}\)(đvtt).
Đề thi thử tốt nghiệp THPT môn Toán năm 2023
Sở GD&ĐT Bắc Ninh lần 1