Cho phương trình \({{\log }_{a}}\left( ax \right){{\log }_{b}}\left( bx \right)=2020\) với \(a,\,\,b\) là các tham số thực lớn hơn \(1\). Gọi \({{x}_{1}},\,\,{{x}_{2}}\) là các nghiệm của phương trình đã cho. Khi biểu thức \(P=6{{x}_{1}}{{x}_{2}}+a+b+3\left( \frac{1}{4a}+\frac{4}{b} \right)\) đạt giá trị nhỏ nhất thì \(a+b\) thuộc khoảng nào dưới đây?
Suy nghĩ trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có \({{\log }_{a}}\left( ax \right){{\log }_{b}}\left( bx \right)=2020\)
\(\Leftrightarrow \left( 1+{{\log }_{a}}x \right)\left( 1+{{\log }_{b}}x \right)=2020\Leftrightarrow \left( 1+{{\log }_{a}}x \right)\left( 1+{{\log }_{b}}a{{\log }_{a}}x \right)=2020\)
Đặt \(\left\{ \begin{align} & m={{\log }_{b}}a \\ & t={{\log }_{a}}x \\ \end{align} \right.\)(Do \(a,b>1\Rightarrow m>0\)).
Suy ra: \(\left( 1+t \right)\left( 1+mt \right)=2020\)\(\Leftrightarrow m{{t}^{2}}+\left( m+1 \right)t-2019=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( * \right)\)
Xét \(\Delta ={{\left( m+1 \right)}^{2}}+4.2019.m\,\,>0\,\Rightarrow m>0\).
Vậy phương trình \(\left( * \right)\) luôn có 2 nghiệm phân biệt \({{t}_{1}},{{t}_{2}}\).
Theo Vi-et ta có: \({{t}_{1}}+{{t}_{2}}=-\frac{m+1}{m}\)\(\Rightarrow {{\log }_{a}}{{x}_{1}}+{{\log }_{a}}{{x}_{2}}=-\frac{{{\log }_{b}}a+1}{{{\log }_{b}}a}\)
\(\Rightarrow {{\log }_{a}}{{x}_{1}}{{x}_{2}}=-\left( 1+{{\log }_{a}}b \right)=-{{\log }_{a}}ab\)\(\Rightarrow {{x}_{1}}{{x}_{2}}=\frac{1}{ab}\)
Do đó \(P=6{{x}_{1}}{{x}_{2}}+a+b+3\left( \frac{1}{4a}+\frac{4}{b} \right)\)
\(\Leftrightarrow P\,=\frac{6}{ab}+a+b+3\left( \frac{1}{4a}+\frac{4}{b} \right)\)
\(\Leftrightarrow P\,=\left( \frac{6}{ab}+\frac{2}{3}a+\frac{1}{4}b \right)+\left( \frac{1}{3}a+\frac{3}{4a} \right)+\left( \frac{3b}{4}+\frac{12}{b} \right)\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho các bộ số ta được: \(P\ge 3+1+6=10\).
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(a=\frac{3}{2};b=4\). Vậy \(a+b=\frac{11}{2}\).
Đề thi thử THPT QG năm 2021 môn Toán
Trường THPT Nguyễn Khuyến lần 3
Câu hỏi liên quan
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right)=\left( x-1 \right)\left( {{x}^{2}}-4 \right)\left( {{x}^{3}}-1 \right),\forall x\in \mathbb{R}\). Số điểm cực trị của hàm số đã cho là
-
Trong không gian Oxyz, cho điểm \(M\left( 1;0;2 \right)\) và đường thẳng \(\Delta :\frac{x-2}{1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-3}{-1}.\) Mặt phẳng đi qua M và vuông góc với \(\Delta \) có phương trình là
-
Cho hình vuông ABCD cạnh a, trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng \(\left( ABCD \right)\) tại A ta lấy điểm S di động không trùng với A. Hình chiếu vuông góc của A lên \(SB,\,\,SD\) lần lượt là \(H,\,K\). Tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối tứ diện ACHK.
-
Cho số phức z. Gọi A, B lần lượt là các điểm trong mặt phẳng (Oxy) biểu diễn các số phức z và\(\left( 1+i \right)z\). Tính \(\left| z \right|\) biết diện tích tam giác OAB bằng 8
-
Một cái thùng đựng đầy nước được tạo thành từ việc cắt mặt xung quanh của một hình nón bởi một mặt phẳng vuông góc với trục của hình nón. Miệng thùng là đường tròn có bán kính bằng ba lần bán kính mặt đáy của thùng. Người ta thả vào đó một khối cầu có đường kính bằng \(\frac{3}{2}\)chiều cao của thùng nước và đo được thể tích nước tràn ra ngoài là \(54\sqrt{3}\pi \) (dm3). Biết rằng khối cầu tiếp xúc với mặt trong của thùng và đúng một nửa của khối cầu đã chìm trong nước (hình vẽ). Thể tích nước còn lại trong thùng có giá trị nào sau đây?
.png)
-
Xác định tập nghiệm S của bất phương trình \({{\left( \frac{1}{3} \right)}^{2x-3}}\ge 3.\)
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) là hàm đa thức bậc bốn, có đồ thị \({f}'\left( x \right)\) như hình vẽ
.jpg.png)
Phương trình \(f\left( x \right)=0\) có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi
-
Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số \(y=\frac{1}{3}{{x}^{3}}-m{{x}^{2}}+\left( {{m}^{2}}-4 \right)x+3\) đạt cực đại tại \(x=3.\)
-
Cho tập hợp \(S=\left\{ 1;2;3;...;17 \right\}\) gồm 17 số nguyên dương đầu tiên. Chọn ngẫu nhiên một tập con có 3 phần tử của tập hợp S. Tính xác suất để tập hợp được chọn có tổng các phần tử chia hết cho 3.
-
Trong không gian Oxyz cho điểm \(I\left( 2;3;4 \right)\) và \(A\left( 1;2;3 \right)\). Phương trình mặt cầu tâm I và đi qua A có phương trình là:
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và thỏa mãn \(f(x)+f(-x)=2\cos 2x,\,\forall x\in \mathbb{R}\). Khi đó \(\int\limits_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}{f\left( x \right)\text{d}x}\) bằng
-
Thể tích của một khối lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng \(a\sqrt{2}\) là:
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\), liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có bảng biến thiên như hình vẽ bên. Tìm số nghiệm thực của phương trình \(2f\left( x \right)+7=0\)
.png)
-
Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
.jpg.png)
-
Số tiệm cận của đồ thị hàm số \(y=\frac{\sqrt{4-{{x}^{2}}}}{x+3}\) là:
-
Trong các hàm số sau, hàm số nào có đồ thị như hình bên?
.jpg.png)
-
Tìm số phức z thỏa mãn \(\left| z-2 \right|=\left| z \right|\) và \(\left( z+1 \right)\left( \bar{z}-i \right)\) là số thực.
-
Hàm số \(y={{\log }_{a}}x\) và \(y={{\log }_{b}}x\) có đồ thị như hình vẽ dưới đây.
.jpg.png)
Đường thẳng \(y=3\) cắt hai đồ thị tại các điểm có hoành độ \({{x}_{1}}\), \({{x}_{2}}\). Biết rằng \({{x}_{2}}=2{{x}_{1}}\), giá trị của \(\frac{a}{b}\) bằng
-
Cho số phức z có điểm biểu diễn trong mặt phẳng tọa độ Oxy là điểm \(M\left( 3;-5 \right)\). Xác định số phức liên hợp \(\overline{z}\) của z.
-
Cho hình phẳng D giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y=\sqrt{6}x\) và các đường thẳng \(y=0,\,\,x=1,\,\,x=2\). Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành bằng
