Cho phương trình \({{\log }_{3}}\left( 4{{x}^{2}}-4x+3 \right)+{{2020}^{4{{x}^{2}}-4x-2\left| y \right|+1}}.{{\log }_{\frac{1}{3}}}\left( 2\left| y \right|+2 \right)=0\). Hỏi có bao nhiêu cặp số nguyên \(\left( x;y \right)\) thỏa mãn phương trình trên, biết rằng \(y\in \left( -5;5 \right)\)?
Suy nghĩ trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiPhương trình đã cho \(\Leftrightarrow {{\log }_{3}}\left[ {{\left( 2x-1 \right)}^{2}}+2 \right]+{{2020}^{{{\left( 2x-1 \right)}^{2}}-2\left| y \right|}}.{{\log }_{\frac{1}{3}}}\left( 2\left| y \right|+2 \right)=0\).
Đặt \(\left\{ \begin{align} & a={{\left( 2x-1 \right)}^{2}}+2 \\ & b=2\left| y \right|+2 \\ \end{align} \right.\), suy ra \(a\ge 2;b\ge 2\)
Khi đó ta có phương trình:
\({{\log }_{3}}a+{{2020}^{a-b}}.{{\log }_{\frac{1}{3}}}b=0 \Leftrightarrow {{\log }_{3}}a={{2020}^{a-b}}.{{\log }_{3}}b \Leftrightarrow \frac{{{\log }_{3}}a}{{{2020}^{a}}}=\frac{{{\log }_{3}}b}{{{2020}^{b}}}\).
Xét hàm số \(f\left( t \right)=\frac{{{\log }_{3}}t}{{{2020}^{t}}}\) với \(t\in \left[ 2;+\infty \right)\)
Ta có \({f}'\left( t \right)=\frac{1-t.\ln 3.\ln 2020.{{\log }_{3}}t}{t{{.2020}^{t}}.\ln 3}\).
Vì \(t\ge 2\) nên suy ra: \(t.\ln 3.\ln 2020.{{\log }_{3}}t\ge 2.\ln 3.\ln 2020.{{\log }_{3}}2>1\).
Khi đó \({f}'\left( t \right)<0\) nên hàm số \(f\left( t \right)\) nghịch biến trên tập \(\left[ 2;+\infty \right)\).
Từ phương trình \(f\left( a \right)=f\left( b \right)\) suy ra a=b hay \({{\left( 2x-1 \right)}^{2}}=2\left| y \right|\).
Nhận thấy với x,y là các số nguyên thì \({{\left( 2x-1 \right)}^{2}}\) luôn là số lẻ, mà \(2\left| y \right|\) luôn là số chẵn nên không thể tồn tại cặp \(\left( x;y \right)\) nào thỏa mãn phương trình đã cho, với x,y là các số nguyên.
Đề thi thử THPT QG năm 2021 môn Toán
Trường THPT Nguyễn Thị Minh Khai lần 2
Câu hỏi liên quan
-
Xét \(\int\limits_{0}^{1}{{{x}^{3}}{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{2021}}}\text{d}x\), nếu đặt \(u={{x}^{2}}+1\) thì \(\int\limits_{0}^{1}{{{x}^{3}}{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{2021}}}\text{d}x\) bằng
-
Cho cấp số nhân \(\left( {{u}_{n}} \right)\) với \({{u}_{1}}=2\) và \({{u}_{4}}=16\). Công bội của cấp số nhân đã cho bằng
-
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Gọi H là trung điểm AB, G là trọng tâm \(\Delta SBC\). Biết \(SH\bot \left( ABC \right)\) và SH=a. Khi đó khoảng cách giữa hai đường thẳng AG và SC là
-
Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng \(\left( ABC \right)\), SA=2a, tam giác ABC vuông cân tại C và \(AC=a\sqrt{2}\) (minh họa như hình bên).
.png)
Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng \(\left( ABC \right)\) bằng
-
Nếu \(\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)}\,\text{d}x=2\) và \(\int\limits_{0}^{3}{f\left( x \right)}\,\text{d}x=-4\) thì \(\int\limits_{1}^{3}{f\left( x \right)}\,\text{d}x\) bằng
-
Cho hàm số bậc ba \(y=f\left( x \right)\) có đồ thị trong hình dưới. Số nghiệm của phương trình \(f\left( x \right)+2=0\) là
.PNG)
-
Trong không gian Oxyz, cho điểm \(M\left( 1;-2;0 \right)\) và \(N\left( -1;2;3 \right)\). Đường thẳng MN có phương trình tham số là
-
Cho hàm số f(x) thỏa mãn \(\int_{0}^{3}{x}\cdot {{f}^{\prime }}(x)\cdot {{e}^{f(x)}}\text{d}x=8\) và f(3) = ln3. Tính \(\text{I}=\int_{0}^{3}{{{\text{e}}^{f(x)}}}\text{d}x\).
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) xác định và liên tục trên \(\left( -\infty ;0 \right)\) và \(\left( 0;+\infty \right)\) có bảng biến thiên như sau:
.PNG)
Mệnh đề nào sau đây sai?
-
Cho các số dương a,b,c thỏa mãn \(\ln \frac{a}{c}+\ln \frac{b}{c}=0\). Khẳng định nào sau đây đúng?
-
Tính thể tích V của khối trụ có bán kính đáy và chiều cao đều bằng 2.
-
Cho \(x,y,\,z>0\); \(a,\,b,\,c>1\) và \({{a}^{x}}={{b}^{y}}={{c}^{z}}=\sqrt{abc}\). Giá trị lớn nhất của biểu thức \(P=\frac{16}{x}+\frac{16}{y}-{{z}^{2}}\) thuộc khoảng nào dưới đây?
-
Số phức liên hợp của số phức z=3-12i là
-
Cho hàm số \(y=\left( 2x+2 \right)\left( {{x}^{2}}-1 \right)\) có đồ thị \(\left( C \right)\), số giao điểm của đồ thị \(\left( C \right)\) với trục hoành là
-
Gọi \({{z}_{0}}\) là nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình \({{z}^{2}}-6\text{z}+13=0\). Môđun của số phức \({{z}_{0}}+i\) là
-
Số nghiệm của phương trình \({{3}^{x}}={{\left( \frac{1}{3} \right)}^{x}}\) là
-
Thể tích của khối lập phương có cạnh bằng c là
-
Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số \(y=\frac{1}{3}{{x}^{3}}+\left( m+1 \right){{x}^{2}}-\left( m+1 \right)x+1\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\)?
-
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu \((S): {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-4\text{x}+2y-2\text{z}-3=0\,.\)Tâm của (S) có tọa độ là
-
Cho hàm số \(y=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d,\) (với \(a,b,c,d\) là các số thực) có đồ thị \(\left( C \right)\) như hình vẽ dưới đây:
.PNG)
Chọn khẳng định đúng?
