Cho phương trình \({{\log }_{3}}\left( 4{{x}^{2}}-4x+3 \right)+{{2020}^{4{{x}^{2}}-4x-2\left| y \right|+1}}.{{\log }_{\frac{1}{3}}}\left( 2\left| y \right|+2 \right)=0\). Hỏi có bao nhiêu cặp số nguyên \(\left( x;y \right)\) thỏa mãn phương trình trên, biết rằng \(y\in \left( -5;5 \right)\)?
Suy nghĩ trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiPhương trình đã cho \(\Leftrightarrow {{\log }_{3}}\left[ {{\left( 2x-1 \right)}^{2}}+2 \right]+{{2020}^{{{\left( 2x-1 \right)}^{2}}-2\left| y \right|}}.{{\log }_{\frac{1}{3}}}\left( 2\left| y \right|+2 \right)=0\).
Đặt \(\left\{ \begin{align} & a={{\left( 2x-1 \right)}^{2}}+2 \\ & b=2\left| y \right|+2 \\ \end{align} \right.\), suy ra \(a\ge 2;b\ge 2\)
Khi đó ta có phương trình:
\({{\log }_{3}}a+{{2020}^{a-b}}.{{\log }_{\frac{1}{3}}}b=0 \Leftrightarrow {{\log }_{3}}a={{2020}^{a-b}}.{{\log }_{3}}b \Leftrightarrow \frac{{{\log }_{3}}a}{{{2020}^{a}}}=\frac{{{\log }_{3}}b}{{{2020}^{b}}}\).
Xét hàm số \(f\left( t \right)=\frac{{{\log }_{3}}t}{{{2020}^{t}}}\) với \(t\in \left[ 2;+\infty \right)\)
Ta có \({f}'\left( t \right)=\frac{1-t.\ln 3.\ln 2020.{{\log }_{3}}t}{t{{.2020}^{t}}.\ln 3}\).
Vì \(t\ge 2\) nên suy ra: \(t.\ln 3.\ln 2020.{{\log }_{3}}t\ge 2.\ln 3.\ln 2020.{{\log }_{3}}2>1\).
Khi đó \({f}'\left( t \right)<0\) nên hàm số \(f\left( t \right)\) nghịch biến trên tập \(\left[ 2;+\infty \right)\).
Từ phương trình \(f\left( a \right)=f\left( b \right)\) suy ra a=b hay \({{\left( 2x-1 \right)}^{2}}=2\left| y \right|\).
Nhận thấy với x,y là các số nguyên thì \({{\left( 2x-1 \right)}^{2}}\) luôn là số lẻ, mà \(2\left| y \right|\) luôn là số chẵn nên không thể tồn tại cặp \(\left( x;y \right)\) nào thỏa mãn phương trình đã cho, với x,y là các số nguyên.
Đề thi thử THPT QG năm 2021 môn Toán
Trường THPT Nguyễn Thị Minh Khai lần 2