Cho phương trình \({{\log }_{3}}\left( 4{{x}^{2}}-4x+3 \right)+{{2020}^{4{{x}^{2}}-4x-2\left| y \right|+1}}.{{\log }_{\frac{1}{3}}}\left( 2\left| y \right|+2 \right)=0\). Hỏi có bao nhiêu cặp số nguyên \(\left( x;y \right)\) thỏa mãn phương trình trên, biết rằng \(y\in \left( -5;5 \right)\)?
Suy nghĩ trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiPhương trình đã cho \(\Leftrightarrow {{\log }_{3}}\left[ {{\left( 2x-1 \right)}^{2}}+2 \right]+{{2020}^{{{\left( 2x-1 \right)}^{2}}-2\left| y \right|}}.{{\log }_{\frac{1}{3}}}\left( 2\left| y \right|+2 \right)=0\).
Đặt \(\left\{ \begin{align} & a={{\left( 2x-1 \right)}^{2}}+2 \\ & b=2\left| y \right|+2 \\ \end{align} \right.\), suy ra \(a\ge 2;b\ge 2\)
Khi đó ta có phương trình:
\({{\log }_{3}}a+{{2020}^{a-b}}.{{\log }_{\frac{1}{3}}}b=0 \Leftrightarrow {{\log }_{3}}a={{2020}^{a-b}}.{{\log }_{3}}b \Leftrightarrow \frac{{{\log }_{3}}a}{{{2020}^{a}}}=\frac{{{\log }_{3}}b}{{{2020}^{b}}}\).
Xét hàm số \(f\left( t \right)=\frac{{{\log }_{3}}t}{{{2020}^{t}}}\) với \(t\in \left[ 2;+\infty \right)\)
Ta có \({f}'\left( t \right)=\frac{1-t.\ln 3.\ln 2020.{{\log }_{3}}t}{t{{.2020}^{t}}.\ln 3}\).
Vì \(t\ge 2\) nên suy ra: \(t.\ln 3.\ln 2020.{{\log }_{3}}t\ge 2.\ln 3.\ln 2020.{{\log }_{3}}2>1\).
Khi đó \({f}'\left( t \right)<0\) nên hàm số \(f\left( t \right)\) nghịch biến trên tập \(\left[ 2;+\infty \right)\).
Từ phương trình \(f\left( a \right)=f\left( b \right)\) suy ra a=b hay \({{\left( 2x-1 \right)}^{2}}=2\left| y \right|\).
Nhận thấy với x,y là các số nguyên thì \({{\left( 2x-1 \right)}^{2}}\) luôn là số lẻ, mà \(2\left| y \right|\) luôn là số chẵn nên không thể tồn tại cặp \(\left( x;y \right)\) nào thỏa mãn phương trình đã cho, với x,y là các số nguyên.
Đề thi thử THPT QG năm 2021 môn Toán
Trường THPT Nguyễn Thị Minh Khai lần 2
Câu hỏi liên quan
-
Một khối lập phương có thể tích bằng \(2\sqrt{2}{{a}^{3}}\). Độ dài cạnh khối lập phương bằng
-
Cho hai số phức \({{z}_{1}}=5i\) và \({{z}_{2}}=2021+i\). Phần thực của số phức \({{z}_{1}}{{z}_{2}}\) bằng
-
Một nhóm 16 học sinh gồm 10 nam trong đó có Bình và 6 nữ trong đó có An được xếp ngẫu nhiên vào 16 ghế trên một hàng ngang để dự lễ khai giảng năm học. Xác suất để xếp được giữa 2 bạn nữ gần nhau có đúng 2 bạn nam, đồng thời Bình không ngồi cạnh An là
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)={{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+m\) (m là tham số thực). Gọi S là tập hợp các giá trị của m sao cho \(\underset{\left[ 0;2 \right]}{\mathop{max}}\,\left| f\left( x \right) \right|+\underset{\left[ 0;2 \right]}{\mathop{min}}\,\left| f\left( x \right) \right|=7\). Tổng các phần tử của S là
-
Tính thể tích V của khối trụ có bán kính đáy và chiều cao đều bằng 2.
-
Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng \(\left( ABC \right)\), SA=2a, tam giác ABC vuông cân tại C và \(AC=a\sqrt{2}\) (minh họa như hình bên).
.png)
Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng \(\left( ABC \right)\) bằng
-
Trong không gian Oxyz, cho điểm \(M\left( 1;-2;3 \right)\) và đường thẳng \(\Delta :\frac{x-2}{3}=\frac{3-y}{4}=\frac{z}{2}\). Mặt phẳng đi qua M và vuông góc với \(\Delta \) có phương trình là
-
Trên mặt phẳng tọa độ (hình vẽ dưới), số phức \(z=-4+3i\) được biểu diễn bởi điểm nào trong các điểm \(A,\text{ }B,\text{ }C,\text{ }D?\)
.PNG)
-
Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y={{x}^{3}}-6{{x}^{2}}\) và y=6-11x được tính bởi công thức nào dưới đây?
-
Trong không gian, cho tam giác ABC vuông tại A, \(AB=a\sqrt{3}\), BC=2a. Khi quay tam giác ABC xung quanh cạnh góc vuông AB thì hình tam giác ABC tạo thành một khối nón tròn xoay có thể tích bằng
-
Thể tích của khối lập phương có cạnh bằng c là
-
Với x là số thực dương tùy ý, \({{\log }_{3}}\left( {{x}^{3}} \right)\) bằng
-
Số phức liên hợp của số phức z=3-12i là
-
Cho khối cầu có thể tích \(V=288\pi \). Bán kính của khối cầu bằng
-
Cho \(x,y,\,z>0\); \(a,\,b,\,c>1\) và \({{a}^{x}}={{b}^{y}}={{c}^{z}}=\sqrt{abc}\). Giá trị lớn nhất của biểu thức \(P=\frac{16}{x}+\frac{16}{y}-{{z}^{2}}\) thuộc khoảng nào dưới đây?
-
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(d:\,\frac{x+1}{2}=\frac{y-3}{-2}=\frac{z-1}{-1}\). Điểm nào dưới đây thuộc d?
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) xác định và liên tục trên \(\left( -\infty ;0 \right)\) và \(\left( 0;+\infty \right)\) có bảng biến thiên như sau:
.PNG)
Mệnh đề nào sau đây sai?
-
Cho hai số phức \({{z}_{1}}=2-3i\) và \({{z}_{2}}=1+5i\). Phần ảo của số phức \({{z}_{1}}.{{z}_{2}}\) bằng
-
Khẳng định nào sau đây là đúng?
-
Cho các số dương a,b,c thỏa mãn \(\ln \frac{a}{c}+\ln \frac{b}{c}=0\). Khẳng định nào sau đây đúng?
