Cho số phức z thỏa \(\left| {{z}_{1}}+1 \right|+\left| {{z}_{1}}-1 \right|+\left| {{z}_{1}}-\overline{{{z}_{1}}}-4 \right|\le 6\) và \(\left| {{z}_{2}}-5i \right|\le 2\) thì giá trị nhỏ nhất của \(\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=m\). Khẳng định đúng là
Suy nghĩ trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐặt : \({z_1} = a + bi\) thì bất phương trình trên trở thành \( \Rightarrow \left| {{z_1} + 1} \right| + \left| {{z_1} - 1} \right| + \left| {2bi - 4} \right| \le 6\)
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l} \left| {{z_1} + 1} \right| + \left| {{z_1} - 1} \right| = \left| {{z_1} + 1} \right| + \left| {1 - {z_1}} \right| \ge \left| {{z_1} + 1 + 1 - {z_1}} \right| = 2\\ \left| {2bi - 4} \right| = \sqrt {4{b^2} + 16} \ge 4 \end{array} \right.\)
Suy ra \(\left| {{z_1} + 1} \right| + \left| {{z_1} - 1} \right| + \left| {2bi - 4} \right| \ge 6\)
Vậy để \(\left| {{z_1} + 1} \right| + \left| {{z_1} - 1} \right| + \left| {{z_1} - \overline {{z_1}} - 4} \right| \le 6\) thì \(\left| {{z_1} + 1} \right| + \left| {{z_1} - 1} \right| + \left| {{z_1} - \overline {{z_1}} - 4} \right| = 6\).
Mặt khác, ta thấy \(2 \ge \left| {{z_1} + 1} \right| + \left| {{z_1} - 1} \right| = \left| {{z_1} + 1} \right| + \left| {1 - {z_1}} \right| \ge \left| {{z_1} + 1 + 1 - {z_1}} \right| = 2\) nên suy ra bất phương trình xảy ra dấu “=” khi và chỉ khi số phức z1 bằng 0, từ đó suy ra \(\left| {{z_1} - \overline {{z_1}} - 4} \right| = \left| {2bi - 4} \right| = 4 \Rightarrow b = 0\).
Ta có: \(\left| {{z_2} - 5i} \right| \le 2\) ⇒ quỹ tích của số phức z2 là một hình tròn có tâm I(0;5) và bán kính R = 2
Khi ấy, giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(\left| {{z_1} - {z_2}} \right|\) cũng chính là đường nối tâm và gốc tọa độ trừ cho bán kính, tức \(m = \min \left( {\left| {{z_1} - {z_2}} \right|} \right) = OI - R = 5 - 2 = 3\). Như vậy \(m = 3 \in \left( {2;4} \right)\).
Đề thi thử THPT QG năm 2021 môn Toán
Trường THPT Trần Văn Giàu lần 2