Cho số phức z thoả mãn \(\left| z-8 \right|+\left| z+8 \right|=20.\) Gọi m, n lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của \(\left| z \right|.\) Tính P = m + n.
Suy nghĩ trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiGọi \(z=x+yi\left( x,y\in \mathbb{R} \right)\) và \(M\left( x,y \right)\) là điểm biểu diễn của số phức z trong mặt phẳng phức. Xét các điểm \({{F}_{1}}\left( -8;0 \right),{{F}_{2}}\left( 8;0 \right).\)
Ta có: \(M{{F}_{1}}=\sqrt{{{\left( -8-x \right)}^{2}}+{{\left( -y \right)}^{2}}}=\sqrt{{{\left( x+8 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}}=\left| z+8 \right|.\)
\(M{{F}_{2}}=\sqrt{{{\left( 8-x \right)}^{2}}+{{\left( -y \right)}^{2}}}=\sqrt{{{\left( x-8 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}}=\left| z-8 \right|.\)
\(\Rightarrow \left| z-8 \right|+\left| z+8 \right|=20\Leftrightarrow \sqrt{{{\left( x+8 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}}+\sqrt{{{\left( x-8 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}}=20\Leftrightarrow M{{F}_{1}}+M{{F}_{2}}=20.\)
Do \(M{{F}_{1}}+M{{F}_{2}}\ge {{F}_{1}}{{F}_{2}}\Rightarrow \) Tập hợp điểm M là một elip có dạng \(\frac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\frac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1\)
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2a = 20\\ c = 8 \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {a^2} = 100\\ {b^2} = {a^2} - {c^2} = 36 \end{array} \right. \Rightarrow \frac{{{x^2}}}{{100}} + \frac{{{y^2}}}{{36}} = 1 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \max \left| z \right| = 10\\ \min \left| z \right| = 6 \end{array} \right. \Rightarrow m + n = 16.\)
Đề thi thử THPT QG năm 2021 môn Toán
Trường THPT Nguyễn Văn Trỗi lần 2
Câu hỏi liên quan
-
Người ta đặt được vào một hình nón hai khối cầu có bán kính lần lượt là a và 2a sao cho các khối cầu đều tiếp xúc với mặt xung quanh của hình nón, hai khối cầu tiếp xúc với nhau và khối cầu lớn tiếp xúc với đáy của hình nón. Bán kính đáy của hình nón đã cho là
-
Cho hình bát diện đều cạnh 2. Gọi S là tổng diện tích tất cả các mặt của hình bát diện đó. Khi đó S bằng
-
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số \(y=2x+\frac{mx}{\sqrt{{{x}^{2}}+2}}\) có điểm cực trị và tất cả các điểm cực trị thuộc hình nón tâm O, bán kính \(\sqrt{68}\)?
-
Cho 2 vectơ \(\overrightarrow{a}=\left( 1;m;-1 \right),\overrightarrow{b}=\left( 2;1;3 \right).\) Tìm giá trị của m để \(\overrightarrow{a}\bot \overrightarrow{b}.\)
-
Kết thúc năm 2018, thu nhập bình quân đầu người của quốc gia A đạt 2300 USD/1 người/1 năm. Trong hội nghị bàn về các vấn đề tăng trưởng kinh tế, các đại biểu về kinh tế đã đặt mục tiêu thu nhập bình quân đầu người của quốc gia này vào cuối năm 2035 sẽ đạt mức 10000 USD/ 1 người/ 1 năm (theo giá hiện hành). Hỏi để đạt được mục tiêu đó, trung bình mỗi năm thu nhập bình quân đầu người của quốc gia A tăng bao nhiêu % (kết quả làm tròn đến số thập phân thứ hai).
-
Tập nghiệm S của bất phương trình \({{3}^{x}}<{{e}^{x}}\) là
-
Tìm hệ số của đơn thức \({{a}^{3}}{{b}^{2}}\) trong khai triển nhị thức \({{\left( a+2b \right)}^{5}}.\)
-
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, BC = 2a. Mặt bên SBC là tam giác vuông cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Thể tích khối chóp S.ABC là
-
Cho đồ thị các hàm số \(y={{\log }_{a}}x,\,y={{\log }_{b}}x\) như hình vẽ bên dưới. Khẳng định nào sau đây đúng?
.PNG)
-
Đường cong trong hình vẽ là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào?
.PNG)
-
Cho lăng trụ tam giác đều \(ABC.{A}'{B}'{C}'\) cạnh đáy bằng a, chiều cao bằng 3a. Mặt phẳng (P) qua \({B}'\) và vuông góc với \({A}'C\) chia lăng trụ thành hai khối. Biết thể tích của hai khối là V1 và V2 với \({{V}_{1}}<{{V}_{2}}.\) Tỉ số \(\frac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}\) bằng?
-
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tứ diện ABCD có \(A\left( 0;0;3 \right),B\left( 0;3;0 \right),C\left( 3;0;0 \right),D\left( 3;3;3 \right).\) Hỏi có bao nhiêu điểm \(M\left( x;y;z \right)\) (với x, y, z nguyên) nằm trong tứ diện?
-
Cho hình vuông ABCD cạnh 8 cm. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Quay hình vuông ABCD xung quanh MN được hình trụ (T). Diện tích toàn phần của hình trụ (T) là
-
Cho hàm số \(y=\frac{ax+b}{cx+d}\) có đồ thị như hình vẽ. Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng?
.PNG)
-
Đồ thị sau đây là của hàm số nào?
.PNG)
-
Tìm các số \(x,y\in \mathbb{R}\) thoả mãn \(\left( 1+2y \right)i=\left( 2i-1 \right)x+1+i.\)
-
Gọi F(x) là nguyên hàm trên \(\mathbb{R}\) của hàm số \(f\left( x \right)={{x}^{2}}{{e}^{ax}}\left( a\ne 0 \right)\), sao cho \(F\left( \frac{1}{a} \right)=F\left( 0 \right)+1.\) Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
-
Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên
.PNG)
Khẳng định nào sau đây là đúng?
-
Số phức \(z=i-2+2\left( i+1 \right)\) có điểm biểu diễn trong mặt phẳng phức là:
-
Cho \(\int\limits_{0}^{1}{f}\left( x \right)dx=2\) và \(\int\limits_{0}^{1}{g\left( x \right)}dx=3\), khi đó \(\int\limits_{0}^{1}{\left[ 2f\left( x \right)-g\left( x \right) \right]dx}\) bằng:
