Có bao nhiêu cặp số nguyên \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn \({\text{lo}}{{\text{g}}_3}\left( {{x^2} + {y^2} + x} \right) + {\text{lo}}{{\text{g}}_2}\left( {{x^2} + {y^2}} \right) \leqslant {\text{lo}}{{\text{g}}_3}x + {\text{lo}}{{\text{g}}_2}\left( {{x^2} + {y^2} + 24x} \right)?\)
Suy nghĩ trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐiều kiện: \(x>0\).
Ta có:
\(\begin{array}{l} {\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}\left( {{x^2} + {y^2} + x} \right) + {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {{x^2} + {y^2}} \right) \le {\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}x + {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {{x^2} + {y^2} + 24x} \right)\\ \Leftrightarrow {\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}\left( {{x^2} + {y^2} + x} \right) - {\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}x \le {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {{x^2} + {y^2} + 24x} \right) - {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {{x^2} + {y^2}} \right)\\ \Leftrightarrow {\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}\left( {\frac{{{x^2} + {y^2} + x}}{x}} \right) \le {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {\frac{{{x^2} + {y^2} + 24x}}{{{x^2} + {y^2}}}} \right)\\ \Leftrightarrow {\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}\left( {\frac{{{x^2} + {y^2}}}{x} + 1} \right) \le {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {1 + \frac{{24x}}{{{x^2} + {y^2}}}} \right)\\ \Leftrightarrow {\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}\left( {\frac{{{x^2} + {y^2}}}{x} + 1} \right) - {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {1 + \frac{{24x}}{{{x^2} + {y^2}}}} \right) \le 0 \end{array}\)
Đặt: \(t = \frac{{{x^2} + {y^2}}}{x},t > 0\), bất phương trình trở thành: \( \Leftrightarrow {\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}\left( {t + 1} \right) - {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {1 + \frac{{24}}{t}} \right) \le 0{\rm{ }}\left( 1 \right)\)
Xét hàm số \(f\left( t \right) = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}\left( {t + 1} \right) - {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {1 + \frac{{24}}{t}} \right) \), có
\(f'\left( t \right) = \frac{1}{{\left( {1 + t} \right)\ln 3}} + \frac{{24}}{{\left( {{t^2} + 24t} \right)\ln 2}} > 0,\forall t > 0\).
Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\).
Ta có \(f\left( 8 \right) = {\log _3}\left( {1 + 8} \right) - {\log _2}\left( {1 + \frac{{24}}{8}} \right) = 0\)
Từ đó suy ra
\(\begin{array}{l} \left( 1 \right) \Leftrightarrow f\left( t \right) \le f\left( 8 \right) \Leftrightarrow t \le 8\\ \Leftrightarrow \frac{{{x^2} + {y^2}}}{x} \le 8\\ \Leftrightarrow {\left( {x - 4} \right)^2} + {y^2} \le 16 \end{array}\)
Đếm các cặp giá trị nguyên của ( x; y)
Ta có:
Với \(x=1; x=7 \Rightarrow y = \left\{ { \pm 2; \pm 1;0} \right\}\) nên có 10 cặp.
Với \(x=2; x=6 \Rightarrow y = \left\{ { \pm 3; \pm 2; \pm 1;0} \right\}\) nên có 14 cặp.
Với \(x=3; x=5 \Rightarrow y = \left\{ { \pm 3; \pm 2; \pm 1;0} \right\}\) nên có 14 cặp.
Với \(x=4 \Rightarrow y = \left\{ { \pm 4; \pm 3; \pm 2; \pm 1;0} \right\}\) nên có 9 cặp.
Với \(x=8 \Rightarrow y = 0\) nên có 1 cặp.
Vậy có 48 cặp số nguyên \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn.
Đáp án B
Câu hỏi liên quan
-
Cho khối chóp \(S.ABC\) có đáy là tam giác vuông cân tại \(A,AB = 2\), \(SA\) vuông góc với đáy và \(SA = 3\) (tham khảo hình bên). Thể tích khối chóp đã cho bằng?
-
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) và thỏa mãn \(f\left( x \right) + xf'\left( x \right) = 4{x^3} + 4x + 2,\forall x \in \mathbb{R}\). Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = f\left( x \right)\) và \(y = f'\left( x \right)\) bằng
-
Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = \frac{{2x + 1}}{{3x - 1}}\) là đường thẳng có phương trình:
-
Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình bên?
-
Phần ảo của số phức \(z = 2 - 3i\) là
-
Tập nghiệm của bất phương trình \({\text{log}}\left( {x - 2} \right) > 0\) là
-
Cho khối lăng trụ đứng \(ABC \cdot A'B'C'\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông cân tại \(B,AB = a\). Biết khoảng cách từ A đến mặt phẳng \(\left( {A'BC} \right)\) bằng \(\frac{{\sqrt 6 }}{3}a\), thể tích khối lăng trụ đã cho bằng
-
Một hộp chứa 15 quả cầu gồm 6 quả màu đỏ được đánh số từ 1 đến 6 và 9 quả màu xanh được đánh số từ 1 đến 9. Lấy ngẫu nhiên hai quả từ hộp đó, xác suất để lấy được hai quả khác màu đồng thời tổng hai số ghi trên chúng là số chẵn bằng
-
Trên mặt phẳng tọa độ, điểm biểu diễn số phức z = 7 - 6i có tọa độ là
-
Trong không gian \(Oxyz\), cho hai điểm \(A\left( {0;0;10} \right)\) và \(B\left( {3;4;6} \right)\). Xét các điểm M thay đổi sao cho tam giác AOM không có góc tù và có diện tích bằng 15. Giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng MB thuộc khoảng nào dưới đây?
-
Trong không gian \(Oxyz\), cho điểm \(A\left( {0;1;2} \right)\) và đường thẳng \(d:\frac{{x - 2}}{2} = \frac{{y - 1}}{2} = \frac{{z - 1}}{{ - 3}}\). Gọi \(\left( P \right)\) là mặt phẳng đi qua A và chứa d. Khoảng cách từ điểm \(M\left( {5; - 1;3} \right)\) đến \(\left( P \right)\) bằng
-
Nếu \(\smallint _0^2f\left( x \right){\text{d}}x = 4\) thì \(\smallint _0^2\left[ {\frac{1}{2}f\left( x \right) - 2} \right]{\text{d}}x\) bằng
-
Xét các số phức \(z\) thỏa mãn \(\left| {{z^2} - 3 - 4i} \right| = 2\left| z \right|\). Gọi \(M\) và \(m\) lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của \(\left| z \right|\). Giá trị của \({M^2} + {m^2}\) bằng
-
Trong không gian \(Oxyz\), góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) và \(\left( {Oyz} \right)\) bằng
-
Thể tích khối tròn xoay thu được khi quay hình phẳng giới hạn bởi hai đường \(y = - {x^2} + 2x\) và \( y = 0\) quanh trục \(Ox\) bằng
-
Trên mặt phẳng tọa độ, biết tập hợp điểm biểu diễn các số phức \(z\) thỏa mãn \(\left| {z + 2i} \right| = 1\) là một đường tròn. Tâm của đường tròn đó có tọa độ là
-
Trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\), đạo hàm của hàm số \(y = {x^\pi }\) là:
-
Tích tất cả các nghiệm của phương trình \({\text{l}}{{\text{n}}^2}x + 2{\text{ln}}x - 3 = 0\) bằng
-
Trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\), đạo hàm của hàm số \(y = {\text{lo}}{{\text{g}}_3}x\) là:
-
Có bao nhiêu số nguyên \(x\) thỏa mãn \({\text{lo}}{{\text{g}}_3}\frac{{{x^2} - 16}}{{343}} < {\text{lo}}{{\text{g}}_7}\frac{{{x^2} - 16}}{{27}}\) ?
