Gọi T là tập hợp tất cả các số phức z thõa mãn \(\left| {{z}_{1}} \right|=2\) và \(\left| {{z}_{2}} \right|=3,\left| 2{{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=\sqrt{17}\). Gọi M,m lần lượt là các giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của \(T=\left| 3{{z}_{1}}+2{{z}_{2}}-10-12i \right|\). Khi đó M.n bằng
Suy nghĩ trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có
\(\left| 2{{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=\sqrt{17}\Leftrightarrow 4{{\left| {{z}_{1}} \right|}^{2}}+{{\left| {{z}_{2}} \right|}^{2}}-2\left( {{z}_{1}}.\overline{{{z}_{2}}}+\overline{{{z}_{1}}}.{{z}_{2}} \right)=17\)
\(\Rightarrow \left( {{z}_{1}}.\overline{{{z}_{2}}}+\overline{{{z}_{1}}}.{{z}_{2}} \right)=4\).
Đặt \(\text{w}=3{{z}_{1}}+2{{z}_{2}}\) và \(M\left( x;y \right)\) là điểm biểu diễn số phức \(\text{w}\),suy ra
\({{\left| \text{w} \right|}^{2}}={{\left| 3{{z}_{1}}+2{{z}_{2}} \right|}^{2}}=9{{\left| {{z}_{1}} \right|}^{2}}+4{{\left| {{z}_{2}} \right|}^{2}}+6\left( {{z}_{1}}.\overline{{{z}_{2}}}+\overline{{{z}_{1}}}.{{z}_{2}} \right)=96\)
\(\left| \text{w} \right|=\sqrt{96}=4\sqrt{6}\). Vậy M thuộc đường tròn tâm \(O,R=4\sqrt{6}\). Gọi \(A=\left( 10;12 \right)\) ta có
\(T=\left| 3{{z}_{1}}+2{{z}_{2}}-10-12i \right|=MA\).
.png)
Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l} M{A_{Max}} = A{M_2} = OA + R\\ M{A_{\min }} = A{M_1} = OA - R \end{array} \right. \Rightarrow M.m = O{A^2} - {R^2} = 148\)
