Trong bài thực hành của môn huấn luyện quân sự có tình huống chiến sĩ phải bơi qua một con sông để tấn công một mục tiêu ở phía bờ bên kia sông. Biết rằng lòng sông rộng 100m và vận tốc bơi của chiến sĩ bằng một nửa vận tốc chạy trên bộ. Hãy cho biết chiến sĩ phải bơi bao nhiêu mét để đến được mục tiếu nhanh nhất, nếu như dòng sông là thẳng, mục tiêu ở cách chiến sĩ 1 km theo đường chim bay và chiến sĩ cách bờ bên kia sông 100m.

Câu hỏi liên quan

• Khi sản xuất vỏ lon sữa bò hình trụ, các nhà thiết kế luôn đặt mục tiêu sao cho chi phí nguyên liệu làm vỏ lon là ít nhất, tức là diện tích toàn phần của hình trụ là nhỏ nhất. Muốn thể tích khối trụ đó bằng 1 dm³ và diện tích toàn phần của hình trụ nhỏ nhất thì bán kính đáy của hình trụ phải bằng bao nhiêu?

• Cho hai vị trí A, B cách nhau 615m, cùng nằm về một phía bờ sông như hình vẽ. Khoảng cách từ A và từ B đến bờ sông lần lượt là 118m và 487m. Một người đi từ A đến bờ sông để lấy nước mang về B. Đoạn đường ngắn nhất mà người đó có thể đi là:
  

• Một lọ nước hoa thương hiệu BOURJOIS được thiết kế vỏ dạng nón có thể tích V không đổi, phần chứa dung dịch nước hoa là hình trụ nội tiếp hình nón trên. Hỏi để chứa được nhiều nước hoa nhất thì tỷ số khoảng cách từ đỉnh hình nón đến mặt trên của hình trụ chứa nước hoa với chiều cao của hình nón bằng bao nhiêu?

ZUNIA12

• Công ty mỹ phẩm cho ra một mẫu sản phẩm dưỡng trắng da chống lão hóa mới mang tên Sakura với thiết kế là một khối cầu như một viên bi khổng lồ, bên trong là một khối trụ nằm phần nữa để đựng kem dưỡng da (như hình vẽ). Theo dự kiến nhà sản xuất dự định để khối cầu có bán kính \(R=2\sqrt 6 \) (cm). Tìm thể tích lớn nhất của khối trụ đựng kem để thể tích thực ghi trên bìa hộp là lớn nhất (nhằm thu hút khách hàng).
  

• Một học sinh vẽ hình chữ nhật nội tiếp nửa đường tròn đường kính d, có một cạnh trùng với đường kính hình tròn (như hình vẽ). Gọi x là độ dài cạnh hình chữ nhật không trùng với đường kính. Tính diện tích nửa hình tròn theo x, biết diện tích hình chữ nhật đã cho là lớn nhất.
  

• Người ta cần xây một hồ chứa nước với dạng khối hộp chữ nhật không nắp có thể tích bằng \(\frac{{500}}{3}\) m³. Đáy hồ là hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng. Giá thuê nhân công để xây hồ là 500.000 đồng/m². Hãy xác định kích thước của hồ nước sao cho chi phí thuê nhân công thấp nhất. Chi phí đó là?

• Một kĩ sư thiết kế sân tập thể thao dạng hình chữ nhật ABCD diện tích bằng 961m² và được mở rộng thêm 4 phần đất sao cho tạo thành đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD có tâm O là giao điểm hai đường chéo AC và BD. Tính diện tích nhỏ nhất (có thể đạt được) của 4 phần đất được mở rộng. (Xem hình vẽ bên)
  

• Một cái mũ bằng vải của nhà ảo thuật gia gồm phần dạng hình trụ (có tổng diện tích vải là S₂) và phần dạng hình vành khăn (có tổng diện tích vải là S₁) với các kích thước như hình vẽ. Tính tổng (r + d) sao cho biểu thức P = \(3{S_2} - {S_1}\) đạt giá trị lớn nhất (không kể viền, mép, phần thừa).
  

• Một miếng giấy hình chữ nhật ABCD với AB = x, BC = 2x và đường thẳng Δ nằm trong mặt phẳng (ABCD), Δ song song với AD và cách AD một khoảng bằng a, Δ không có điểm chung với hình chữ nhật ABCD và khoảng cách từ A đến Δ lớn hơn khoảng cách từ B đến Δ.Tìm thể tích lớn nhất có thể có của khối tròn xoay tạo nên khi quay hình chữ nhật ABCD quanh Δ.
  

• Một bạn học sinh cắt lấy tờ giấy hình tròn (có bán kính R) rồi cắt một phần giấy có dạng hình quạt. Sau đó bạn ấy lấy phần giấy đó làm thành cái nón chú hề (như hình vẽ). Gọi x là chiều dài dây cung tròn của phần giấy được xết thành cái nón chú hề, h và r lần lượt là chiều cao và bán kính của của cái nón. Nếu x = k.R thì giá trị của k xấp xỉ bằng bao nhiêu để thể tích của hình nón là lớn nhất.
  

• Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh 12cm. Người ta cắt ở bốn góc của tấm nhôm đó bốn hình vuông bằng nhau, mỗi hình vuông có cạnh bằng x (cm), rồi gập tấm nhôm lại như hình vẽ dưới đây để được một cái hộp không nắp. Tìm x để hộp nhận được có thể tích lớn nhất.

  

• Một bác nông dân có 60 000 000 đồng để làm một cái rào hình chữ E dọc theo một con sông (như hình vẽ) để làm một khu đất có hai phần bằng nhau để trồng cà chua. Đối với mặt hàng rào song song với bờ sông thì chi phí nguyên vật liệu là 50 000 đồng một mét, còn đối với ba mặt hàng rào song song với nhau thì chi phí nguyên vật liệu là 40 000 đồng một mét. Tìm diện tích lớn nhất của đất có thể rào được?
  

• Tính chiều dài bé nhất của cái thang đơn vị m, để nó có thể tựa vào tường và mặt đất, ngang qua cột đỡ cao 4m, song song và cách tường 0,5m kể từ tâm của cột đỡ (xem hình vẽ, kết quả lấy đến 2 chữ số thập phân).
  

• Một công ty mỹ phẩm ở Pháp vừa cho ra mắt sản phẩm mới là chiếc thỏi son mang tên BOURJOIS có dạng hình trụ có chiều cao h (cm), bán kính đáy r (cm), thể tích yêu cầu của mỗi thỏi là \(20,25\pi \) (cm³). Biết rằng chi phí sản xuất cho mỗi thỏi son như vậy được xác định theo công thức: T = 60000r² + 20000rh (đồng). Để chi phí sản xuất là thấp nhất thì tổng (r + h) bằng bao nhiêu cm?

• Một cái nắp của bình chứa rượu gồm một phần dạng hình trụ, phần còn lại có dạng nón (như hình vẽ). Phần hình nón có bán kính đáy r, chiều cao h, đường sinh bằng 1,25m. Phần hình trụ có bán kính đáy bằng bán kính hình nón, chiều cao bằng h/3. Kết quả (r + h ) xấp xỉ bằng bao nhiêu cm để diện tích toàn phần của cái nắp là lớn nhất.
  

• Một đường dây điện được nối từ một nhà máy điện ở A đến một hòn đảo ở C. Khoảng cách ngắn nhất từ C đến B là 1 km. Khoảng cách từ B đến A là 4. Mỗi km dây điện đặt dưới nước là mất 5000 USD, còn đặt dưới đất mất 3000 USD. Hỏi điểm S trên bờ cách A bao nhiêu để khi mắc dây điện từ A qua S rồi đến C là ít tốn kém nhất.
  

• Có hai chiếc cọc cao 10m và 30m lần lượt đặt tại hai vị trí A, B. Biết khoảng cách giữa hai cọc bằng 24m. Người ta chọn một cái chốt ở vị trí M trên mặt đất nằm giữa hai chân cột để giăng dây nối đến hai đỉnh C và D của cọc (như hình vẽ). Hỏi ta phải đặt chốt ở vị trí nào trên mặt đất để tổng độ dài của hai sợi dây đó là ngắn nhất.
  

• Bên trong một căn phòng hình lập phương, được ký hiệu như sau ABCD.A’B’C’D’ cạnh bằng 4(cm). Người ta tiến hành trang trí ngôi nhà bằng cách gắn các dây lụa tại điểm M và N theo thứ tự trên AC và A'B  sao cho  \(AM = A'N = t\left( {0 \le t \le 4\sqrt 2 cm} \right)\). Biết rằng dây lụa được nhập khẩu từ nước ngoài nên rất đắt. Gia chủ muốn chiều dài của dây là ngắn nhất. Hỏi độ dài ngắn nhất của sợi dây mà gia chủ có thể dùng là bao nhiêu?
  

• Người ta muốn rào quanh một khu đất với một số vật liệu cho trước là 8 (m) thẳng hàng rào. Ở đó người ta vận dụng một bờ giậu có sẵn để làm một cạnh của hàng rào. Diện tích lớn nhất của mảnh đất có thể rào là bao nhiêu?
  

• Một hạt ngọc trai hình cầu (S) bán kính R không đổi, được bọc trong một hộp trang sức dạng hình nón (N) ngoại tiếp mặt cầu (S). Khi đó thì chiều cao h và bán kính đáy r của hình nón (N) lần lượt bằng bao nhiêu để hộp trang sức có thể tích nhỏ nhất?