Trong các nghiệm (x;y) thỏa mãn bất phương trình \({\log _{{x^2} + 2{y^2}}}\left( {2x + y} \right) \ge 1.\) Giá trị lớn nhất của biểu thức T = 2x + y bằng
Suy nghĩ trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTH1: \({{x}^{2}}+2{{y}^{2}}>1.\) Đặt \(z=y\sqrt{2},\) suy ra \({{x}^{2}}+{{z}^{2}}>1\text{ }\left( 1 \right).\) Khi đó:
\({{\log }_{{{x}^{2}}+2{{y}^{2}}}}\left( 2x+y \right)\ge 1\Leftrightarrow 2x+y\ge {{x}^{2}}+2{{y}^{2}}\Leftrightarrow 2x+\frac{z}{\sqrt{2}}\ge {{x}^{2}}+{{z}^{2}}\Leftrightarrow {{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( z-\frac{1}{2\sqrt{2}} \right)}^{2}}\ge \frac{9}{8}\text{ }\left( 2 \right).\)
Tập hợp các điểm \(M\left( x;y \right)\) là miền \(\left( H \right)\) bao gồm miền ngoài của hình tròn \(\left( {{C}_{1}} \right):{{x}^{2}}+{{z}^{2}}=1\) và miền trong của hình tròn \(\left( {{C}_{2}} \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( z-\frac{1}{2\sqrt{2}} \right)}^{2}}=\frac{9}{8}.\)
Hệ \(\left\{ \begin{array}{l} T = 2x + \frac{z}{{\sqrt 2 }}\\ {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {z - \frac{1}{{2\sqrt 2 }}} \right)^2} \ge \frac{9}{8}\\ {x^2} + {z^2} > 1 \end{array} \right.\) có nghiệm khi đường thẳng \(d:2x + \frac{z}{{\sqrt 2 }} - T = 0\) có điểm chung với miền (H)
Để T đạt giá trị lớn nhất thì đường thẳng d phải tiếp xúc với đường tròn (C2) nghĩa là ta có \(d\left( {I,d} \right) = \frac{3}{{2\sqrt 2 }}\) \( \Leftrightarrow \left| {T - \frac{9}{4}} \right| = \frac{9}{4} \Leftrightarrow T = \frac{9}{2}\) với \(I\left( {1;\frac{1}{{2\sqrt 2 }}} \right)\) là tâm của đường tròn \(\left( {{C_2}} \right)\).
TH2. \(0 < {x^2} + 2{y^2} < 1\) ta có
\({\log _{{x^2} + 2{y^2}}}\left( {2x + y} \right) \ge 1 \Leftrightarrow 2x + y \le {x^2} + 2{y^2} \Leftrightarrow T = 2x + y < 1\) (loại).
Vậy \(\max T = \frac{9}{2}.\)
Đề thi thử THPT QG năm 2021 môn Toán
Trường THPT Nguyễn Văn Linh
Câu hỏi liên quan
-
Cho a, b, c > 0 và \(a \ne 1.\) Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?
-
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng \(\left( d \right):\left\{ \begin{array}{l} x = 3 - t\\ y = - 1 + 2t\\ z = - 3t \end{array} \right.\left( {t \in R} \right).\) Phương trình nào dưới đây là phương trình chính tắc của đường thẳng (d)?
-
Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như hình bên. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để phương trình \(f\left( x \right) = {\log _2}m\) có ba nghiệm phân biệt.
.PNG)
-
Cho bảng biến thiên của hàm số y = f(x). Mệnh đề nào sau đây sai?
.png)
-
Đường cong trong hình vẽ là đồ thị của hàm số nào dưới đây?
.jpg.png)
-
Rút gọn biểu thức \(P = {x^{\frac{1}{3}}}\sqrt[6]{x}\) với x > 0
-
Cho hàm số f liên tục trên R và \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} = 6.\) Tính \(\int\limits_0^1 {\left[ {xf\left( {{x^2}} \right) - {x^2}f\left( {{x^3}} \right)} \right]dx} .\)
-
Cho hàm số y = f(x). Hàm số y = f'(x) có đồ thị như hình bên. Tìm số điểm cực trị của hàm số y = f(x)
.jpg.png)
-
Xét hàm số \(F\left( x \right) = \int\limits_2^x {f\left( t \right)dt} \) trong đó hàm số \(y = f\left( t \right)\) có đồ thị như hình vẽ bên. Trong các giá trị dưới đây, giá trị nào là lớn nhất?
.PNG)
-
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( P \right):x-2y+2z-2=0\) và điểm \(I\left( -1;2;-1 \right)\). Viết phương trình mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm I và cắt mặt phẳng \(\left( P \right)\) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 5.
-
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là vuông cạnh a hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABCD) trùng với trung điểm của cạnh AD cạnh bên SB hợp với đáy một góc 60o. Tính theo a thể tích V của khối chóp S.ABCD.
-
Cho i là đơn vị ảo. Giá trị của biểu thức \(z = {\left( {1 + i} \right)^2}\) là
-
Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây. Hàm số đạt cực đại tại điểm
.png)
-
Hệ số góc tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = {\log _3}x\) tại điểm có hoành độ x = 2 bằng
-
Có bao nhiêu cách chọn ba học sinh từ một nhóm gồm 15 học sinh?
-
Cho hàm số y = f(x) xác định, liên tục trên R và có bảng biến thiên sau
.png)
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình \(f\left( x \right) - 1 = m\) có đúng hai nghiệm.
-
Cho một hình trụ có chiều cao bằng 2 và bán kính đáy bằng 3. Thể tich của khối trụ đã cho bằng
-
Tìm số phức thỏa mãn \(i\left( {\overline z - 2 + 3i} \right) = 1 + 2i.\)
-
Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như hình bên. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
.png)
-
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh 2a cạnh bên bằng SA vuông góc với đáy, SA = a. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC).
