Trong không gian \(Oxyz\) Cho \(d\,:\,\,\frac{x-4}{2}=\frac{y-5}{-1}=\frac{z-3}{2}\) và hai điểm \(A\left( \,3;\,1;\,2 \right);\,\,B\left( \,-1;\,3;-2 \right)\) Mặt cầu tâm \(I\) bán kính \(R\) đi qua hai điểm hai điểm \(A,\,B\) và tiếp xúc với đường thẳng \(d.\) Khi \(R\) đạt giá trị nhỏ nhất thì mặt phẳng đi qua ba điểm \(A,\,B,\,I\) là \(\left( P \right):\,\,2x+by+c\text{z}+d=0.\) Tính \(d+b-c.\)
Suy nghĩ trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiGọi E là trung điểm của \(AB\Rightarrow E\left( 1;2;0 \right)\) và \(IE=\sqrt{{{R}^{2}}-9}\)
Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng \(AB\) là\(\left( \alpha \right)\,\,:\,2x-y+2z=0\)
Gọi H là hình chiếu vuông góc của \(I\) lên \(d.\)
Gọi M là hình chiếu vuông góc của \(E\) lên \(d\Rightarrow EM={{d}_{\left( E;d \right)}}=9\)
Toạ độ M là nghiệm hệ \(\left\{ \begin{align} & x=2t+4 \\ & y=-t+5 \\ & z=2t+3 \\ & 2x-y+2\text{z}=0 \\ \end{align} \right.\Rightarrow t=-1\Rightarrow M\left( 2;6;1 \right)\Rightarrow ME=3\sqrt{2}\)
Vì \(\left( \alpha \right)\bot d\) và \(IH+IE\ge EM\Rightarrow \,R\)nhỏ nhất \(\Leftrightarrow \,I,H,E\) thẳng hàng.
\(\Rightarrow \,R+\sqrt{{{R}^{2}}-9}=3\sqrt{2}\Rightarrow R=\frac{9\sqrt{2}}{4}\)
Vậy \(\Rightarrow \overrightarrow{EI}=\frac{1}{4}\overrightarrow{EH}\Rightarrow I\left( \frac{5}{4};3;\frac{1}{4} \right)\Rightarrow \overrightarrow{IA}=\left( \frac{7}{4};-2;\frac{7}{4} \right)\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{n}=\left[ \overrightarrow{AB};\overrightarrow{IA} \right]=\left( -18;0;18 \right)=-18\left( 1;0;-1 \right)\)
\(\left( P \right):\,\,2x-2\text{z-2}=0\Rightarrow b=0;c=-2;d=-2\Rightarrow d+b-c=0\)
Đề thi thử THPT QG năm 2021 môn Toán
Trường THPT Nguyễn Du lần 3