Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\): 2x-y+2z-14=0 và quả cầu \(\left( S \right):\,{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}+{{\left( z+1 \right)}^{2}}=9\). Tọa độ điểm \(H\left( a;b;c \right)\) thuộc mặt cầu \(\left( S \right)\) sao cho khoảng cách từ H đến mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) là lớn nhất. Gọi \(A,\,B,\,C\) lần lượt là hình chiếu của H xuống mặt phẳng \(\left( Oxy \right)\,,\,\left( Oyz \right)\,,\,\left( Ozx \right)\). Gọi S là diện tích tam giác ABC, hãy chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau?
Suy nghĩ trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiMặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( 1;-2;-1 \right)\), bán kính R=3.
Ta có: \(d\left( I,\left( \alpha \right) \right) =\frac{\left| 2.1-\left( -2 \right)+2.\left( -1 \right)-14 \right|}{\sqrt{{{2}^{2}}+{{\left( -1 \right)}^{2}}+{{2}^{2}}}} =4>R\), suy ra \(\left( \alpha \right)\) không cắt quả cầu \(\left( S \right)\).
Vậy khoảng cách lớn nhất từ một điểm thuộc mặt cầu \(\left( S \right)\) xuống mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) là giao điểm của mặt cầu với đường thẳng qua tâm I và vuông góc với \(\left( \alpha \right)\).
Gọi d là phương trình đường thẳng qua I và vuông góc với mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) nên có phương trình \(\left\{ \begin{array}{l} x = 1 + 2t\\ y = - 2 - t\\ z = - 1 + 2t \end{array} \right.\)
Ta tìm giao điểm của d và (S). Xét hệ: \(\left\{ \begin{array}{l} x = 1 + 2t\\ y = - 2 - t\\ z = - 1 + 2t\\ {x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y + 2z - 3 = 0 \end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = 1 + 2t\\ y = - 2 - t\\ z = - 1 + 2t\\ {\left( {1 + 2t} \right)^2} + {\left( { - 2 - t} \right)^2} + {\left( { - 1 + 2t} \right)^2} - 2\left( {1 + 2t} \right) + 4\left( { - 2 - t} \right) + 2\left( { - 1 + 2t} \right) - 3 = 0 \end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = 1 + 2t\\ y = - 2 - t\\ z = - 1 + 2t\\ 9{t^2} - 9 = 0 \end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} t = 1\\ x = 3\\ y = - 3\\ z = 1 \end{array} \right.\\ \left\{ \begin{array}{l} t = - 1\\ x = - 1\\ y = - 1\\ z = - 3 \end{array} \right. \end{array} \right.\)
Suy ra có hai giao điểm là \(M\left( {3; - 3;1} \right)\) và \(N\left( { - 1; - 1; - 3} \right)\).
Ta có: \(d\left( {M,\left( \alpha \right)} \right) = \frac{{\left| {2.3 - \left( { - 3} \right) + 2.1 - 14} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2}} }} = 1\); \(d\left( {N,\left( \alpha \right)} \right) = \frac{{\left| {2.\left( { - 1} \right) - \left( { - 1} \right) + 2\left( { - 3} \right) - 14} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2}} }} = 7\).
Suy ra \(H \equiv N\left( { - 1; - 1; - 3} \right)\). Từ đó a = -1; b = -1; c = -3.
Mặt khác, theo giả thiết A, B, C là hình chiếu của H xuống mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\,,\,\left( {Oyz} \right)\,,\,\left( {Ozx} \right)\).
Suy ra \(A\left( { - 1\,;\, - 1\,;\,0} \right),\,B\left( {0\,;\, - 1\,;\, - 3} \right),\,C\left( { - 1\,;\,0\,;\, - 3} \right)\).
Vậy \(S = \frac{1}{2}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} \,,\,\overrightarrow {AC} } \right]} \right| = \frac{{\sqrt {19} }}{2} \in \left( {2\,;\,3} \right)\).
Câu hỏi liên quan
-
Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:
.PNG)
Điềm cực đại của hàm số đã cho là:
-
Tích phân \(I=\int\limits_{0}^{2}{(2x+1)\text{d}x}\) bằng
-
Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn \(\left[ 1;2 \right]\) và thỏa mãn \(f(1)=-\frac{1}{2}\) và
\(f(x)+x{f}'(x)=\left( 2{{x}^{3}}+{{x}^{2}} \right){{f}^{2}}(x),\forall x\in [1;2].\) Giá trị của tích phân \(\int_{1}^{2} x f(x) d x\) bằng
-
Trong không gian Oxyz, vectơ nào dưới đây là một vectơ chi phương của đường thằng AB biết tọa độ điểm \(A\left( 1\,;\,2\,;\,3 \right)\) và tọa độ điểm \(B(3\,;\,2\,;\,1)?\)
-
Đạo hàm của hàm số \(y={{2}^{{{x}^{2}}}}\) là
-
Một khối chóp tam giác có diện tích đáy bằng 4 và chiều cao bằng 3. Thề tích của khối chóp đó bằng
-
Tập nghiệm của bất phương trình \({2^{{x^2} + 2}} \le 8\) là
-
Cho lăng trụ đứng \(ABC.{A}'{B}'{C}'\) có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với BC=a biết mặt phẳng \(\left( {A}'BC \right)\) hợp với đáy \(\left( ABC \right)\) một góc 600 (tham khảo hình bên).Tính thể tích lăng trụ \(ABC.{A}'{B}'{C}'\).
.png)
-
Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình bên?
.PNG)
-
Từ một nhóm học sinh gồm 5 nam và 8 nữ, có bao nhiêu cách chọn ra hai học sinh?
-
Cho \(I=\int\limits_{0}^{2}{f\left( x \right)\text{d}x=3}\). Khi đó \(J=\int\limits_{0}^{2}{\left[ 4f\left( x \right)-3 \right]\text{d}x}\) bằng
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) là hàm số bậc ba có đồ thị như hình vẽ dưới đây
.jpg.png)
Gọi \(m,\,n\) là số điểm cực đại, số điểm cực tiểu của hàm số \(g\left( x \right)=\left| {{f}^{3}}\left( x \right)-3f\left( x \right) \right|\). Đặt \(T={{n}^{m}}\) hãy chọn mệnh đề đúng?
-
Nghiệm của phương trình \({2^{x + 1}} = 16\) là
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)={{x}^{4}}-2{{x}^{2}}\) và hàm số \(y=g\left( x \right)={{x}^{2}}-{{m}^{2}}\), với \(0<m<\sqrt{2}\) là tham số thực. Gọi \({{S}_{1}},\,{{S}_{2}},\,{{S}_{3}},\,{{S}_{4}}\) là diện tích các miền gạch chéo được cho trên hình vẽ. Ta có diện tích \({{S}_{1}}+{{S}_{4}}={{S}_{2}}+{{S}_{3}}\) tại \({{m}_{0}}\). Chọn mệnh đề đúng.
.jpg.png)
-
Trong không gian Oxyz, mặt cầu có tâm tại gốc tọa độ và đi qua điểm \(A\left( 0;3;0 \right)\) có phương trình là:
-
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có độ dài cạnh đáy bằng 4 và độ dài cạnh bên bằng 5 (tham khảo hình vẽ). Khoảng cách từ S đến mặt phẳng \(\left( ABCD \right)\) bằng
.png)
-
Công thức tính diện tích toàn phần của hình nón có bán kính đáy r và đường sinh l là:
-
Số giá trị nguyên dương của y để bất phương trình \({{3}^{2x+2}}-{{3}^{x}}\left( {{3}^{y+2}}+1 \right)+{{3}^{y}}<0\) có không quá 30 nghiệm nguyên x là
-
Trong không gian Oxyz, mặt phẳng nào dưới đây đi qua điểm \(M(1\,;\,-2\,;\,1)\) và có véc tơ pháp tuyên \(\vec{n}=\left( 1\,;\,2\,;\,3 \right)\) là:
-
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có đáy là hình vuông, \(AB=1,AA'=\sqrt{6}\) ( tham khảo hình vẽ). Góc giữa đường thẳng CA' và mặt phẳng \(\left( ABCD \right)\) bằng
.png)
