Trong mặt phẳng tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( \alpha \right):2x-y-2z-2=0\) và đường thẳng \(\left( d \right):\frac{x}{-1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-2}{1}\). Biết mặt phẳng \(\left( P \right)\) chứa \(\left( d \right)\) và tạo với \(\left( \alpha \right)\) một góc nhỏ nhất có phương trình dạng ax+by+cz+3=0. Giá trị của T=a.b.c bằng:
Suy nghĩ trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai+ \(\left( \alpha\right)\) có một VTCP là \(\overrightarrow{u}=\left( -1;\,2;\,1 \right)\).
+ VTPT của \(\left( P \right)\) có dạng \(\overrightarrow{n}=\left( a;b;c \right)\) với \({{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}\ne 0\).
+ Vì (P) chứa \(\left( d \right)\) nên \(\overrightarrow{n}.\overrightarrow{u}=0\Leftrightarrow -a+2b+c=0\Leftrightarrow c=a-2b\).
+ Ta có: \(\cos \left( \left( P \right),\left( \alpha\right) \right)=\frac{\left| \overrightarrow{n}.\overrightarrow{{{n}_{\alpha }}} \right|}{\left| \overrightarrow{n} \right|.\left| \overrightarrow{{{n}_{\alpha }}} \right|}=\frac{\left| 2a-b-2c \right|}{3\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}=\frac{\left| b \right|}{\sqrt{2{{a}^{2}}-4ab+5{{b}^{2}}}}\).
TH1: Nếu b=0 thì \(\left( \left( P \right),\left( \alpha\right) \right)={{90}^{{}^\circ }}\).
TH2: Nếu \(b\ne 0\) thì \(\left( \left( P \right),\left( \alpha\right) \right)\) nhỏ nhất khi \(\cos \left( \left( P \right),\left( \alpha\right) \right)=\frac{1}{\sqrt{2{{\left( \frac{a}{b} \right)}^{2}}-4\frac{a}{b}+5}}\) lớn nhất.
Ta có: \(\cos \left( \left( P \right),\left( \alpha\right) \right)=\frac{1}{\sqrt{2{{\left( \frac{a}{b}-1 \right)}^{2}}+3}}\) lớn nhất khi \(\frac{a}{b}=1\Leftrightarrow a=b\)
So sánh hai trường hợp ta thấy \(\left( \left( P \right),\left( \alpha\right) \right)\) nhỏ nhất khi a=b nên \(\overrightarrow{n}=\left( a;a;-a \right)\).
Do đó,
\(a\left( x-0 \right)+a\left( y+1 \right)-a\left( z-2 \right)=0\Leftrightarrow ax+ay-az+3a=0\).
Vì mặt phẳng \(\left( P \right)\) có phương trình dạng ax+by+cz+3=0 nên \(a=1\Rightarrow \overrightarrow{n}=\left( 1;1;-1 \right)\)
Vậy T=-1.
Đề thi thử THPT QG năm 2021 môn Toán
Trường THPT Trưng Vương lần 2
Câu hỏi liên quan
-
Đồ thị hàm số \(y={{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+9x-2\) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)=-\frac{1}{2}{{x}^{4}}+a{{x}^{2}}+b$$\left( a,b\in \mathbb{R} \right)\) có đồ thị và \(y=g\left( x \right)=m{{\text{x}}^{2}}+n\text{x}+p \left( m,n,p\in \mathbb{R} \right)\) có đồ thị \(\left( P \right)\) như hình vẽ. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi \(\left( C \right)\) và \(\left( P \right)\) có giá trị nằm trong khoảng nào sau đây?
.PNG)
-
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt cầu \(\left( {{S}_{1}} \right):\,{{\left( x+4 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=16,\left( {{S}_{2}} \right):\,{{\left( x+4 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=36\) và điểm \(A\left( 4;0;0 \right)\). Đường thẳng \(\Delta \) di động nhưng luôn tiếp xúc với \(({{S}_{1}})\), đồng thời cắt \(\left( {{S}_{2}} \right)\) tại hai điểm \(B,\,\,C\). Tam giác ABC có thể có diện tích lớn nhất là bao nhiêu?
-
Phương trình \({2^{2x + 5}} = \frac{1}{8}\) có nghiệm là
-
Hàm số nào dưới đây có đồ thị có dạng như đường cong trong hình vẽ?
.PNG)
-
Họ nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {x^4} - 6{x^2}\) là
-
Công thức tính thể tích V của khối nón có bán kính 2r và chiều cao h là:
-
Cho hàm số \(f(x)\) có bảng biến thiên như sau
.PNG)
Hàm số đạt cực đại tại điểm
-
Có bao nhiêu cặp số nguyên \(\left( x;y \right)\) thoả mãn \(0\le x\le 2020\) và \({{\log }_{3}}\left( 3x+3 \right)+x=2y+{{9}^{y}}\)?
-
Họ nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \sin \left( {2x + 1} \right)\) là
-
Trong các hàm số sau, hàm số nào luôn nghịch biến trên \(\mathbb{R}\)?
-
Cho số phức z=4+5i. Số phức \(z+2\overline{z}\) bằng
-
Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = \frac{{x + 1}}{{x - 2}}\) là đường thẳng
-
Đạo hàm của hàm số \(y = {2021^x}\) là
-
Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh SA, CD. Biết góc giữa đường thẳng MN với mặt phẳng \(\left( SBD \right)\) bằng \({{30}^{{}^\circ }}\)(như hình vẽ).
.png)
Thể tích của khối chóp đều S.ABCD là:
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có đạo hàm \({f}'\left( x \right)\) xác định trên \(\mathbb{R}\). Đồ thị hàm số \(y={f}'\left( x \right)\) như hình vẽ dưới đây:
.PNG)
Hỏi hàm số \(y=f\left( {{x}^{2}} \right)\) có bao nhiêu điểm cực đại và bao nhiêu điểm cực tiểu?
-
Cho số phức \({{z}_{1}}=1+i\) và \({{z}_{2}}=2-3i\). Tìm số phức liên hợp của số phức \(w={{z}_{1}}+{{z}_{2}}\)?
-
Cho chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, \(SA\bot \left( ABCD \right)\). Góc giữa đường SC và mặt phẳng \(\left( SAD \right)\) là góc?
-
Trong không gian Oxyz cho tam giác OAB có \(A(1;2;3);\,\,B(2;1;3)\). Khi đó tọa độ trọng tâm tam giác OAB có tọa độ là
-
Cho hàm số \(f(x)\) xác định trên \(\mathbb{R}\) và có bàng xét dấu của đạo hàm \(f^{\prime}(x)\) như sau
.png)
Hàm số \(f(x)\) có bao nhiêu điểm cực trị?
