Xét các số phức \(\text{w}\), \(z\) thỏa mãn \(\left| \text{w}+i \right|=\frac{3\sqrt{5}}{5}\) và \(5w=\left( 2+i \right)\left( z-4 \right)\). Tìm GTLN của biểu thức \(P=\left| z-2i \right|+\left| z-6-2i \right|\)?
Suy nghĩ trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai- Cách 1:
Ta có: \(5w=\left( 2+i \right)\left( z-4 \right)\Leftrightarrow 5w+5i=\left( 2+i \right)\left( z-4 \right)+5i\)
\(\Rightarrow \left| 5w+5i \right|=\left| \left( 2+i \right)\left( z-4 \right)+5i \right|\Rightarrow 5\left| w+i \right|=\left| \left( 1+2i \right)\left( z-4+1+2i \right) \right|=\sqrt{5}\left| z-3+2i \right|\)
\(\Rightarrow 5.\frac{3\sqrt{5}}{5}=\sqrt{5}\left| z-3+2i \right|\Rightarrow \left| z-3+2i \right|=3\).
Ta có:
\({{\left| z+{{z}_{1}} \right|}^{2}}+{{\left| z-{{z}_{1}} \right|}^{2}}=2\left( {{\left| z \right|}^{2}}+{{\left| {{z}_{1}} \right|}^{2}} \right);\,\,\forall z,\,{{z}_{1}}\). (1)
\({{\left| z \right|}^{2}}+{{\left| {{z}_{1}} \right|}^{2}}\ge \frac{{{\left( \left| z \right|+\left| {{z}_{1}} \right| \right)}^{2}}}{2};\,\,\forall z,\,{{z}_{1}}\). (2)
Ta có: \(P=\left| z-2i \right|+\left| z-6-2i \right|=\left| z-3-2i+3 \right|+\left| z-3-2i-3 \right|\).
Áp dụng (1) và (2), ta có:
\({{\left| z-3-2i+3 \right|}^{2}}+{{\left| z-3-2i-3 \right|}^{2}}=2\left( {{\left| z-3-2i \right|}^{2}}+9 \right)\).
\({{\left| z-3-2i+3 \right|}^{2}}+{{\left| z-3-2i-3 \right|}^{2}}\ge \frac{{{\left( \left| z-3-2i+3 \right|+\left| z-3-2i-3 \right| \right)}^{2}}}{2}=\frac{{{\left( \left| z-2i \right|+\left| z-6-2i \right| \right)}^{2}}}{2}\).
Vậy, ta có: \(\frac{{{\left( \left| z-2i \right|+\left| z-6-2i \right| \right)}^{2}}}{2}\le 2\left( {{\left| z-3-2i \right|}^{2}}+9 \right)\Rightarrow {{\left( \left| z-2i \right|+\left| z-6-2i \right| \right)}^{2}}\le 4\left( {{\left| z-3-2i \right|}^{2}}+9 \right)\).
\(\Rightarrow {{P}^{2}}\le 4\left( {{\left| z-3-2i \right|}^{2}}+9 \right)\).
Do \(4\left( {{\left| z-3-2i \right|}^{2}}+9 \right)=4\left( {{\left| z-3+2i-4i \right|}^{2}}+9 \right)\) nên \({{P}^{2}}\le 4\left( {{\left( \left| z-3+2i \right|+\left| -4i \right| \right)}^{2}}+9 \right)\)
\(\Rightarrow {{P}^{2}}\le 4\left( {{7}^{2}}+9 \right)=232\Rightarrow P\le 2\sqrt{58}\).
- Cách 2:
Ta có: \(5w=\left( 2+i \right)\left( z-4 \right)\) thay \(\left| \text{w}+i \right|=\frac{3\sqrt{5}}{5}\)
\(\Rightarrow \left| z-3+2i \right|=3\).
Suy ra, tập hợp các điểm biểu diễn số phức \(z\) là đường tròn \(\left( C \right):\,{{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}=9\).
Gọi \(M\in \left( C \right)\).
Ta có: \(P=\left| z-2i \right|+\left| z-6-2i \right|=AM+BM\,;\,\,A\left( 0\,;\,2 \right),\,B\left( 6\,;\,2 \right)\).
Suy ra \(P\le \sqrt{2\left( A{{M}^{2}}+B{{M}^{2}} \right)}\).
Gọi \(H\) là trung điểm của cạnh \(AB\).
Ta có: \(P\le \sqrt{2\left( A{{M}^{2}}+B{{M}^{2}} \right)}=\sqrt{2\left( 2M{{H}^{2}}+\frac{A{{B}^{2}}}{2} \right)}=\sqrt{4M{{H}^{2}}+A{{B}^{2}}}\).
Vậy, \(P=\left| z-2i \right|+\left| z-6-2i \right|\) đạt giá trị lớn nhất khi \(M{{H}^{2}}\) đạt giá trị lớn nhất.
Dựa vào hình vẽ sau
Suy ra, \(M{{H}^{2}}\) đạt giá trị lớn nhất khi \(M\equiv M'\)\(\Rightarrow {{P}^{2}}\le 232\Rightarrow P=2\sqrt{58}\).
Chọn C.
Đề thi thử Tốt nghiệp THPT môn Toán năm 2023-2024
Trường THPT Ngô Quyền
Câu hỏi liên quan
-
Cho hàm số đa thức bậc ba như hình:
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để hàm số \(y=f\left( f\left( x \right)+m \right)\) có đúng \(6\) điểm cực trị?
-
Cho một hộp chứa 7 quả cầu xanh, 5 quả cầu vàng (các quả cầu đôi một khác nhau). Chọn ngẫu nhiên 3 quả cầu từ hộp, tính xác suất để 3 quả được chọn có ít nhất 2 quả xanh?
-
Trong không gian \(Oxyz\), vectơ nào là VTCP của đường thẳng \(d:\frac{x}{2}=\frac{y+1}{-3}=\frac{z}{1}\)?
-
Hãy tìm tập xác định của hàm số \(y={{({{x}^{3}}+27)}^{\frac{\pi }{2}}}\)?
-
Trong không gian với hệ tọa độ \(\text{O}xyz\), cho các điểm \(A\left( 1;0;0 \right)\), \(B\left( 0;2;0 \right)\),\(C\left( 0;0;4 \right)\). Viết PTĐT \(\Delta \) đi qua trực tâm \(H\) của tam giác \(\Delta ABC\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left( ABC \right)\)?
-
Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu sau \((S):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-8x+2y+1=0\). Tâm của mặt cầu \((S)\) có tọa độ là?
-
Có tất cả bao nhiêu số nguyên \(x\) thỏa mãn \(\left[ {{3}^{2x}}-{{4.3}^{x+1}}+27 \right]\left[ {{\log }_{3}}\left( x+1 \right)+x-3 \right]\le 0\)?
-
Cho hình chóp \(S.ABC\text{D}\) có đáy \(ABC\text{D}\) là hình vuông cạnh \(a\). Tam giác \(SAB\) vuông tại \(S\) và nằm trong mp vuông góc với đáy. Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp \(S.ABC\text{D}\) bằng?
-
Một vật chuyển động theo quy luật \(s=-\frac{1}{3}{{t}^{3}}+6{{t}^{2}}\) với \(t\) (giây) là khoảng thời gian tính từ khi vật bắt đầu chuyển động và \(s\) (mét) là quãng đường vật di chuyển trong khoảng thời gian đó. Hỏi trong khoảng thời gian \(7\) giây, kể từ khi bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn nhất của vật đạt được bao nhiêu?
-
Trong không gian \(Oxyz\), cho đường thẳng \(d\) có pt \(d:\,\left\{ \begin{align}
& x=-1+t \\
& y=2-3t \\
& z=t \\
\end{align} \right.\) và điểm \(A\left( 2;\,3;\,1 \right).\) Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua điểm \(A\), vuông góc với đường thẳng \(d\) có phương trình là? -
Có tất cả bao nhiêu số tự nhiên gồm \(4\) chữ số đôi một khác nhau lập ra từ các chữ số \(2\), \(4\), \(6\), \(8\)?
-
Trong không gian \(Oxyz\), cho biết hình chiếu vuông góc của điểm \(M(3;-1;1)\) trên trục \(Oz\) có tọa độ là?
-
Giá trị cực tiểu của hàm số sau \(y=-{{x}^{3}}+3x+4\)?
-
Phương trình sau \({{\log }_{2}}(x-5)=5\) có nghiệm là?
-
Tính tổng \(T\) tất cả các nghiệm thực của phương trình sau \({{4.9}^{x}}-{{13.6}^{x}}+{{9.4}^{x}}=0\)?
-
Trong không gian cho hình chữ nhật \(ABCD\) có \(AB=1\) và \(AD=2\). Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(AD\) và \(BC\). Quay hình chữ nhật đó xung quanh trục MN, ta được hình trụ. Tính diện tích toàn phần của hình trụ?
-
Cho hình lăng trụ đứng \(ABC.{A}'{B}'{C}'\) có mặt đáy \(ABC\) là tam giác vuông tại \(B\) có \(AB=a,\,AC=a\sqrt{3},\,{A}'B=2a\). Gọi \(M\) là trung điểm của cạnh \(AC\). Tính khoảng cách từ \(M\) đến \(\left( {A}'BC \right)\)?
-
Cho HS \(y=f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ a;b \right]\). Gọi \(D\) là hình phẳng giới hạn bởi ĐTHS \(y=f\left( x \right)\), trục hoành và 2 đường thẳng \(x=a,\ x=b\). Thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi quay \(D\) quanh trục hoành được tính theo công thức?
-
Cho \(\int\limits_{-2}^{2}{f\left( x \right)dx}=9\) và \(\int\limits_{1}^{2}{f\left( x \right)dx}=2\) thì giá trị của \(\int\limits_{-2}^{1}{f\left( x \right)\text{d}x}\) bằng?
-
Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\), từ điểm \(A\left( 1;1;0 \right)\) kẻ các tiếp tuyến đến mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( -1;1;1 \right)\) và bán kính \(R=1\). Gọi \(M\left( a;b;c \right)\) là một trong các tiếp điểm ứng với các tiếp tuyến trên. Tìm GTLN của biểu thức \(T=\left| 2a-b+2c \right|\)?
