Xét các số thực dương \(a\), \(b\), \(x\),\(y\) thỏa mãn \(a>1\), \(b>1\) và \({{a}^{x}}={{b}^{y}}=\sqrt{ab}\). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=x+2y\) thuộc tập hợp nào dưới đây?
Suy nghĩ trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTheo bài ra ta có: \({{a}^{x}}={{b}^{y}}=\sqrt{ab}\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{a^x} = {a^{\frac{1}{2}}}.{b^{\frac{1}{2}}}\\
{b^y} = {a^{\frac{1}{2}}}.{b^{\frac{1}{2}}}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{a^{x - \frac{1}{2}}} = {b^{\frac{1}{2}}}\\
{b^{y - \frac{1}{2}}} = {a^{\frac{1}{2}}}
\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}{\log _a}b\\
y - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}.{\log _b}a
\end{array} \right.\)
Do đó: \(P=x+2y\)\(=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}{{\log }_{a}}b+1+{{\log }_{b}}a\)\(=\frac{3}{2}+\frac{1}{2}{{\log }_{a}}b+{{\log }_{b}}a\)
Đặt \(t={{\log }_{a}}b\). Vì \(a\), \(b>1\) nên \({{\log }_{a}}b>{{\log }_{a}}1=0\).
Khi đó \(P=\frac{3}{2}+\frac{1}{2}t+\frac{1}{t}\)\(\ge \frac{3}{2}+2\sqrt{\frac{1}{2}t.\frac{1}{t}}=\frac{3}{2}+\sqrt{2}\).
Vậy \(P\)đạt giá trị nhỏ nhất là \(\frac{3}{2}+\sqrt{2}\) khi \(t=\sqrt{2}\) hay \(b={{a}^{\sqrt{2}}}\).
Câu hỏi liên quan
-
Cho khối chóp có diện tích đáy B=3 và chiều cao h=4. Thể tích của khối chóp đã cho bằng
-
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm \(M\left( 1;0;1 \right)\) và \(N\left( 3;2;-1 \right).\) Đường thẳng \(MN\( có phương trình tham số là
-
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu \(\left( S \right):{{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y+4 \right)}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=9\). Tâm của (S) có tọa độ là
-
Số phức liên hợp của số phức \(z=2+i\) là
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)=\frac{x+m}{x+1}\) (\(m\) là tham số thực). Gọi \(S\) là tập hợp tất cả các giá trị của \(m\) sao cho \(\underset{\left[ 0;1 \right]}{\mathop{\max }}\,\left| f\left( x \right) \right|+\underset{\left[ 0;1 \right]}{\mathop{\min }}\,\left| f\left( x \right) \right|=2\). Số phần tử của \(S\) là
-
Số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 3x + 1\) và trục hoành là
-
Thể tích của khối lập phương cạnh 2 bằng
-
Hàm số \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\) trên khoảng K nếu
-
Gọi \({{z}_{0}}\) là nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình \({{z}^{2}}-2z+5=0.\) Môđun của số phức \({{z}_{0}}+i\) bằng
-
Cho hai số phức \({{z}_{1}}=2+i\) và \({{z}_{2}}=1+3i\). Phần thực của số phức \({{z}_{1}}+{{z}_{2}}\) bằng
-
Nghiệm của phương trình \({{3}^{x-1}}=27\) là
-
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m sao cho hàm số \(f\left( x \right)=\frac{1}{3}{{x}^{3}}+m{{x}^{2}}+4x+3\) đồng biến trên \(\mathbb{R}?\)
-
Trong không gian Oxyz, hình chiếu vuông góc của điểm M(2; 1; -1) trên mặt phẳng (Oxz) có tọa độ là
-
Cho cấp số cộng \(\left( {{u}_{n}} \right)\) với \({{u}_{1}}=3\) và \({{u}_{2}}=9\). Công sai của cấp số cộng đã cho bằng
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau:
.PNG)
Hàm số đã cho đạt cực đại tại
-
Cho hai số phức \({z_1} = 3 - i\) và \({z_2} = - 1 + i\). Phần ảo của số phức \({z_1}{z_2}\) bằng
-
Với a là số thực dương tùy ý, \({{\log }_{2}}\left( {{a}^{3}} \right)\) bằng
-
Cho mặt cầu có bán kính R = 2. Diện tích của mặt cầu đã cho bằng
-
Cho hình trụ có chiều cao bằng 6a. Biết rằng khi cắt hình trụ đã cho bởi một mặt phẳng song song với trục và cách trục một khoảng bằng 3a, thiết diện thu được là một hình vuông. Thể tích của khối trụ được giới hạn bởi hình trụ đã cho bằng
-
Tiệm cận ngang của đồ thi hàm số \(y=\frac{x-2}{x+1}\) là
