Xét hàm số \(f\left( x \right)=\left| \frac{mx-2\sqrt{x+4}}{2x+4} \right|\) với \(m\) là tham số thực. Có tất cả bao nhiêu số nguyên \(m\) thỏa mãn điều kiện \(0 < \underset{\left[ -1;1 \right]}{\mathop{\min }}\,f\left( x \right) < 1\)?
Suy nghĩ trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐặt \(g\left( x \right)=\frac{mx-2\sqrt{x+4}}{2x+4}\), \(x\in \left[ -1;1 \right]\).
Nếu \(g\left( x \right)=0\) có nghiệm thuộc đoạn \(\left[ -1;1 \right]\) thì \(\underset{\left[ -1;1 \right]}{\mathop{\min }}\,f\left( x \right)=0\), không thỏa mãn điều kiện \(0 < \underset{\left[ -1;1 \right]}{\mathop{\min }}\,f\left( x \right) < 1\).
Do đó để có \(0 < \underset{\left[ -1;1 \right]}{\mathop{\min }}\,f\left( x \right) <1\) thì điều kiện cần là phương trình \(g\left( x \right)=0\) không có nghiệm thuộc đoạn \(\left[ -1;1 \right]\).
Trên đoạn \(\left[ -1;1 \right]\): \(g\left( x \right)=0\Leftrightarrow \frac{mx-2\sqrt{x+4}}{2x+4}=0\)\( \Leftrightarrow mx-2\sqrt{x+4}=0\)\( \Leftrightarrow m=\frac{2\sqrt{x+4}}{x}\).
Đặt \(h\left( x \right)=\frac{2\sqrt{x+4}}{x}\) với \(x\in \left[ -1;1 \right]\backslash \left\{ 0 \right\}\).
Ta có \({h}'\left( x \right)=\frac{-x-8}{{{x}^{2}}\sqrt{x+4}}<0\), \(\forall x\in \left[ -1;1 \right]\backslash \left\{ 0 \right\}\).
Bảng biến thiên của \(h\left( x \right)\) với \(x\in \left[ -1;1 \right]\backslash \left\{ 0 \right\}\).
.PNG)
Do đó để không có nghiệm thuộc đoạn \(\left[ -1;1 \right]\) thì ta phải có \(m\in \left( -2\sqrt{3};2\sqrt{5} \right)\).
Ta có \({g}'\left( 0 \right)=\frac{2m+3}{8}=0\)\( \Leftrightarrow m=-\frac{3}{2}\).
Vậy nếu \(m\) nguyên thì \(x=0\) không phải là điểm cực trị của \(g\left( x \right)\), do đó \(f\left( x \right)\) không thể đạt giá trị nhỏ nhất tại \(x=0\).’
Mà \(f\left( 0 \right)=1\).
Do đó với \(m\) nguyên, \(m\in \left( -2\sqrt{3};2\sqrt{5} \right)\) thì \(0 < \underset{\left[ -1;1 \right]}{\mathop{\min }}\,f\left( x \right) < 1\).
Vậy \(m\in \left\{ -3;-1;...;3;4 \right\}\).
Chọn B
Đề thi thử Tốt nghiệp THPT môn Toán năm 2023-2024
Trường THPT Trần Khai Nguyên
Câu hỏi liên quan
-
Trong không gian \(Oxyz\) cho mặt cầu \((S):(x+2)^{2}+y^{2}+(z+5)^{2}=24\) cắt mp \((\alpha): x+y+4=0\) theo giao tuyến là đường tròn \((C)\). Điểm \(M\) thuộc \((C)\) sao cho khoàng cách từ \(M\) đến \(A(4 ;-12 ; 1)\) nhỏ nhất có tung độ bằng?
-
Biết rằng \({{\log }_{3}}4=a\) và \(T={{\log }_{12}}18\). Phát biểu nào là đúng?
-
Cho khối lăng trụ đứng \(ABC.{A}'{B}'{C}'\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông cân tại \(C\), \(AB=2a\) và góc tạo bởi 2 mặt phẳng \(\left( AB{C}' \right)\) và \(\left( ABC \right)\) bằng \(60{}^\circ \). Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \({A}'{C}'\) và \(BC\). Mặt phẳng \(\left( AMN \right)\) chia khối lăng trụ thành hai phần. Thể tích của phần nhỏ bằng?
-
Có tất cả bao nhiêu số phức \(z\) thỏa mãn \(\left( {{z}^{2}}-2z+7 \right)\left( z-2{{\overline{z}}^{2}} \right)=0\)?
-
Gọi \(\left( H \right)\) là hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị sau \(y={{x}^{2}}-2x\), \(y=0\) trong mặt phẳng \(Oxy\). Quay hình \(\left( H \right)\) quanh trục hoành ta được một khối tròn xoay có thể tích bằng?
-
Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA\) vuông góc với mp \(\left( ABC \right)\), \(SA=1\) và đáy \(ABC\) là tam giác đều với độ dài cạnh bằng 2. Tính góc giữa mặt phẳng \(\left( SBC \right)\) và mặt phẳng \(\left( ABC \right)\)?
-
Trong không gian \(Oxyz,\) cho mặt cầu \(\left( S \right):\,{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x+4y+1=0\). Hãy tính diện tích của mặt cầu \((S)\)?
-
Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình vẽ bên?
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) thỏa mãn \({f}'\left( x \right)={{x}^{2}}\left( x-1 \right),\forall x\in \mathbb{R}\). Phát biểu nào là đúng?
-
Cho HS \(f\left( x \right)\), \(g\left( x \right)\) liên tục trên \(\left[ 0;\,2 \right]\) và \(\int\limits_{0}^{2}{f\left( x \right)\text{d}x}=2\), \(\int\limits_{0}^{2}{g\left( x \right)\text{d}x}=-2\). Tính \(\int\limits_{0}^{2}{\left[ 3f\left( x \right)+g\left( x \right) \right]\text{d}x}\)?
-
Trong không gian \(Oxyz\), cho điểm \(A\left( 1;1;-2 \right)\) và đt \(d:\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{1}=\frac{z}{-2}\). Đường thẳng qua \(A\) và song song với \(d\) có phương trình tham số là?
-
Biết rằng đồ thị \((H):y=\frac{{{x}^{2}}+2x+m}{x-2}\) có 2 điểm cực trị \(A,B\). Hãy tính k/c từ gốc tọa độ đến đường thẳng \(AB\)?
-
Cho \({{z}_{1}}\), \({{z}_{2}}\) là các nghiệm phức phân biệt của phương trình sau \({{z}^{2}}-4z+13=0\). Tính \({{\left| {{z}_{1}}+i \right|}^{2}}+{{\left| {{z}_{2}}+i \right|}^{2}}\)?
-
Cho số phức sau \(z=2+i\). Mô đun của số phức \(\text{w}=\overline{z}+3z\) bằng?
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) và dấu của đạo hàm cho bởi công thức sau:
Hàm số \(f\left( x \right)\) có mấy điểm cực trị?
-
Cho hình trụ có bán kính đáy bằng \(a\sqrt{3}\). Cắt hình trụ bởi 1 mặt phẳng song song với trục, cách trục 1 khoảng bằng a ta được thiết diện là một hình vuông. Thể tích khối trụ đó bằng?
-
Cho HS \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có bảng biến thiên như sau:
Hàm số \(f\left( x \right)\) đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
-
Cho khối cầu có bán kính \(R=6\). Tính thể tích khối cầu bằng?
-
Cho HS \({y=x^{3}-3 m x^{2}+12 x+3 m-7}\) với \({m}\) là tham số. Số các giá trị nguyên của \({m}\) đề hàm số đã cho đồng biến trên \({\mathbb{R}}\) là?
-
Nghiệm của phương trình sau \({{\log }_{2}}\left( x-1 \right)=4\) là?
