Cho 2 mặt phẳng \(\left( P \right)\)và \(\left( Q \right)\) song song với nhau và cùng cắt khối cầu tâm \(O\) bán kính \(4\sqrt{3}\) thành 2 hình tròn có cùng bán kính. Xét hình nón có đỉnh trùng với tâm của một trong hai hình tròn này và có đáy là hình tròn còn lại. Khi diện tích xung quanh của hình nón là lớn nhất, khoảng cách \(h\) giữa hai mặt phẳng \(\left( P \right)\)và \(\left( Q \right)\) bằng?
Suy nghĩ trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai
\(d\left( \left( P \right),\left( Q \right) \right)=O{O}'=h\); \(AB=R\).
\(\Delta OAB\) vuông tại \(O\) nên \(OA=\sqrt{A{{B}^{2}}-O{{B}^{2}}}=\sqrt{{{R}^{2}}-\frac{{{h}^{2}}}{4}}.\)
\(\Delta OA{O}'\) vuông tại \(O\) nên \({O}'A=\sqrt{{O}'{{O}^{2}}+O{{A}^{2}}}=\sqrt{{{h}^{2}}+{{R}^{2}}-\frac{{{h}^{2}}}{4}}=\sqrt{{{R}^{2}}+\frac{3{{h}^{2}}}{4}}.\)
Diện tích xung quanh của hình nón: \(S=\pi .OA.{O}'A=\pi .\sqrt{\left( {{R}^{2}}-\frac{{{h}^{2}}}{4} \right).\left( {{R}^{2}}+\frac{3{{h}^{2}}}{4} \right)}\).
Đặt \(x=\frac{{{h}^{2}}}{4},x>0\).
Xét \(f\left( x \right)=\pi .\sqrt{\left( {{R}^{2}}-x \right).\left( {{R}^{2}}+3x \right)}=\pi .\sqrt{{{R}^{4}}+2{{R}^{2}}x-3{{x}^{2}}}\) với \(x\in \left( 0;{{R}^{2}} \right]\).
\({f}'\left( x \right)=\pi .\frac{2{{R}^{2}}-6x}{2\sqrt{\left( {{R}^{2}}-x \right).\left( {{R}^{2}}+3x \right)}}\).
\({f}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow 2{{R}^{2}}-6x=0\Leftrightarrow x=\frac{{{R}^{2}}}{3}\).
Diện tích xung quanh của hình nón đạt giá trị lớn nhất khi \(f\left( x \right)\) đạt giá trị lớn nhất trên \(\left( 0;{{R}^{2}} \right]\).
Khi đó \(x=\frac{{{R}^{2}}}{3}\Leftrightarrow \frac{{{h}^{2}}}{4}=\frac{{{R}^{2}}}{3}\Leftrightarrow {{h}^{2}}=\frac{4{{R}^{2}}}{3}\Rightarrow h=\frac{2R\sqrt{3}}{3}=\frac{2\left( 4\sqrt{3} \right)\sqrt{3}}{3}=8\).
Chọn D
Đề thi thử Tốt nghiệp THPT môn Toán năm 2023-2024
Trường THPT Sương Nguyệt Anh
Câu hỏi liên quan
-
Hình bát diện đều thuộc loại khối đa diện nào?
-
Cho \(x,y>0\) và \(\alpha ,\beta \in \mathbb{R}\). Tìm đẳng thức sai?
-
Gọi \(M,m\) lần lượt là GTLN, GTNN của hàm số \(y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-9x-1\) trên đoạn\(\left[ 1;5 \right]\). Tính giá trị \(T=2M-m\)?
-
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật, \(AB=3,\,AD=4\) và các cạnh bên của hình chóp tạo với mặt đáy góc \(60{}^\circ \). Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho?
-
Cho phương trình sau \(\left( 4\log _{2}^{2}x+{{\log }_{2}}x-5 \right)\sqrt{{{7}^{x}}-m}=0\) (\(m\) là tham số thực). Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên dương của để phương trình đã cho có đúng 2 nghiệm phân biệt?
-
Cho khối chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông cạnh \(a,\) cạnh bên \(SA=y\,\,\left( y>0 \right).\) và vuông góc với mp đáy \(\left( ABCD \right)\). Trên cạnh \(AD\) lấy điểm \(M\) và đặt \(AM=x\,(0 < x < a).\) Tính thể tích lớn nhất \({{V}_{\max }}\) của khối chóp \(S.ABCM,\) biết \({{x}^{2}}+{{y}^{2}}={{a}^{2}}\)?
-
Tính thể tích của khối chóp có diện tích đáy \(B=6\) và chiều cao \(h=4\) là?
-
Nghiệm của phương trình sau \({{\left( \frac{1}{5} \right)}^{{{x}^{2}}-2x-3}}={{5}^{x+1}}\) là?
-
Cho hình thang ABCD vuông tại A và D có \(CD=2AB=2AD=6.\) Tính thể tích V của khối tròn xoay sinh ra bởi hình thang ABCD khi quay xung quanh đường thẳng BC?
-
Cho HS \(y=f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) có bảng xét dấu của \({f}'\left( x \right)\) như sau:
Số điểm cực tiểu của hàm số đã cho là?
-
Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số sau \(y=\left| 3{{x}^{4}}-m{{x}^{3}}+6{{x}^{2}}+m-3 \right|\) đồng biến trên khoảng \(\left( 0;+\infty \right)\)?
-
Có tất cả bao nhiêu số nguyên dương của tham số m để hàm số sau \(y=\frac{\cos x+1}{10\cos x+m}\) đồng biến trên khoảng \(\left( 0;\frac{\pi }{2} \right)\cdot \)?
-
Hàm số nào bên dưới đây không có cực trị?
-
Cho hàm số \(y=f\left( 2-x \right)\) có BBT như sau:
Tổng các giá trị nguyên của tham số \(m\) để phương trình \(3{{f}^{2}}\left( {{x}^{2}}-4x \right)-\left( m+2 \right)f\left( {{x}^{2}}-4x \right)+m-1=0\) có đúng 8 nghiệm thực phân biệt thuộc khoảng \(\left( 0;+\infty \right)\)?
-
Cho hình chóp tứ giác \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(2a\), cạnh bên \(SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy và \(SA=3\sqrt{2}a\). Tính thể tích của khối chóp \(S.ABCD\)?
-
Cho biết thể tích \(V\) của khối trụ có chiều cao \(h=4\) cm và bán kính đáy \(r=3\) cm bằng?
-
Có tất cả bao nhiêu cặp số nguyên \(\left( x;y \right)\) thỏa mãn \(0\le x\le 4000\) và \(5\left( {{25}^{y}}+2y \right)=x+{{\log }_{5}}{{\left( x+1 \right)}^{5}}-4\)?
-
Cho hàm số \(y={{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+9x+m\text{ }\left( C \right)\), với \(m\) là tham số. Giả sử đồ thị \(\left( C \right)\) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ thỏa mãn \({{x}_{1}}<{{x}_{2}}<{{x}_{3}}\). Khẳng định nào sau đây đúng?
-
Cho hình trụ có 2 đáy là hai hình tròn \(\left( O \right)\) và \(\left( O' \right)\), thiết diện qua trục của hình trụ là hình vuông. Gọi \(A\) và \(B\) là 2 điểm lần lượt nằm trên hai đường tròn \(\left( O' \right)\) và \(\left( O \right)\). Biết \(AB=2a\) và khoảng cách giữa \(AB\) và \(OO'\) bằng \(\frac{a\sqrt{3}}{2}\). Tính diện tích xung quanh của hình trụ?
-
Cho đồ thị \(\left( C \right):y=\frac{x+2}{x-1}\). Gọi \(A,\ B,\ C\) là 3 điểm phân biệt thuộc \(\left( C \right)\) sao cho trực tâm \(H\) của tam giác \(ABC\) thuộc đường thẳng \(\Delta :y=-3x+10\). Độ dài đoạn thẳng \(OH\) bằng?
