Cho hàm số bậc ba \(y=f\left( x \right)\) có đồ thị là đường cong \(\left( C \right)\) trong hình bên. Hàm số \(f\left( x \right)\) đạt cực trị tại hai điểm \({{x}_{1}},\,\,{{x}_{2}}\) thỏa \(f\left( {{x}_{1}} \right)+f\left( {{x}_{2}} \right)=0\). Gọi \(A,\,\,B\) là hai điểm cực trị của đồ thị \(\left( C \right);M,\,\,N,\,\,K\) là giao điểm của \(\left( C \right)\) với trục hoành; S là diện tích của hình phẳng được gạch trong hình, \({{S}_{2}}\) là diện tích tam giác NBK. Biết tứ giác MAKB nội tiếp đường tròn, khi đó tỉ số \(\frac{{{S}_{1}}}{{{S}_{2}}}\) bằng
.jpg.png)
Suy nghĩ trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiKết quả bài toán không thay đổi khi ta tịnh tiến đồ thị đồ thị \(\left( C \right)\) sang trái sao cho điểm uốn trùng với gốc tọa độ O. (như hình dưới)
.jpg.png)
Do \(f\left( x \right)\) là hàm số bậc ba, nhận gốc tọa độ là tâm đối xứng \(\left( O\equiv N \right)\).
Đặt \({{x}_{1}}=-a,\,\,{{x}_{2}}=a\), với a>0 \(\Rightarrow f'\left( x \right)=k\left( {{x}^{2}}-{{a}^{2}} \right)\) với k>0
\(\Rightarrow f\left( x \right)=k\left( \frac{1}{3}{{x}^{3}}-{{a}^{2}}x \right)\) \(\Rightarrow {{x}_{M}}=-a\sqrt{3},\,\,{{x}_{K}}=a\sqrt{3}\)
Có MAKB nội tiếp đường tròn tâm O \(\Rightarrow OA=OM=a\sqrt{3}\)
Có \(f\left( {{x}_{1}} \right)=\sqrt{O{{A}^{2}}-{{x}_{1}}^{2}}\Leftrightarrow f\left( -a \right)=a\sqrt{2}\Leftrightarrow k\left( -\frac{1}{3}{{a}^{3}}+{{a}^{3}} \right)=a\sqrt{2}\Leftrightarrow k=\frac{3\sqrt{2}}{2{{a}^{2}}}\)
\(\Rightarrow f\left( x \right)=\frac{3\sqrt{2}}{2{{a}^{2}}}\left( \frac{1}{3}{{x}^{3}}-{{a}^{2}}x \right)\)
\({{S}_{1}}=\int\limits_{-a\sqrt{3}}^{0}{f\left( x \right)dx}=\frac{3\sqrt{2}}{2{{a}^{2}}}\left. \left( \frac{1}{12}{{x}^{4}}-\frac{{{a}^{2}}}{2}{{x}^{2}} \right) \right|_{-a\sqrt{3}}^{0}=\frac{9\sqrt{2}}{8}{{a}^{2}}\)
\({{S}_{2}}={{S}_{\Delta AMO}}=\frac{1}{2}f\left( -a \right).MO=\frac{1}{2}a\sqrt{2}.a\sqrt{3}=\frac{\sqrt{6}}{2}{{a}^{2}}\)
Vậy \(\frac{{{S}_{1}}}{{{S}_{2}}}=\frac{3\sqrt{3}}{4}\).
Đề thi thử THPT QG năm 2021 môn Toán
Trường THPT Nguyễn Du lần 3
Câu hỏi liên quan
-
Nghiệm của phương trình \({{\left( \frac{1}{4} \right)}^{3x-4}}=\frac{1}{16}\) là:
-
Có bao nhiêu \(m\) nguyên \(m\in \left[ -2021;2021 \right]\) để phương trình \({{6}^{x}}-2m={{\log }_{\sqrt[3]{6}}}\left( 18\left( x+1 \right)+12m \right)\) có nghiệm?
-
Biết \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của của hàm số \(f\left( x \right)=\cos 2x\) thỏa mãn \(F\left( \frac{\pi }{2} \right)=1\). Tính \(F\left( \frac{\pi }{4} \right)\).
-
Công thức thể tích của khối nón có bán kính đáy là \(\frac{r}{2}\) và chiều cao h là
-
Cho hình lăng trụ đứng \(ABC.{A}'{B}'{C}'\) có đáy ABC là tam giác vuông cân tại có \(AB=a,A{A}'=a\sqrt{2}\). Góc giữa đường thẳng \({A}'C\) với mặt phẳng \(\left( A{A}'{B}'B \right)\) bằng:
-
Trong không gian \(Oxyz\), vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng vuông góc với trục \(Oy\)?
-
Khối chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành, biết diện tích hình bình hành ABCD bằng 8 và chiều cao khối chóp bằng 3. Tính thể tích khối chóp S.ABC
-
Chọn ngẫu nhiên một số trong 10 số nguyên dương đầu tiên. Xác suất để chọn được số nguyên tố bằng
-
Tìm đường tiệm cận đứng và đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y=\frac{2x-1}{x+1}\).
-
Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình bên?
.jpg.png)
-
Cho hàm số \(f(x)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}.\) Bảng biến thiên của hàm số \(y=f'(x)\) được cho như hình vẽ. Trên \(\left[ -4;2 \right]\) hàm số \(y=f\left( 1-\frac{x}{2} \right)+x\) đạt giá trị lớn nhất bằng?
.png)
-
Nếu \(\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\left[ 2020f\left( x \right)+\sin 2x \right]}\text{d}x=2021\) thì \(\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{f\left( x \right)}\text{d}x\) bằng
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có bảng xét dấu đạo hàm dưới đây
.png)
Số điểm cực trị của hàm số là
-
Tập nghiệm của bất phương trình \({{\log }_{3}}\left( 25-{{x}^{2}} \right)\le 2\) là
-
Trong không gian \(Oxyz\), mặt cầu \(\left( S \right):{{x}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{\left( z+3 \right)}^{2}}=25\) có tâm là
-
Hình trụ có đường cao h=2cm và đường kính đáy là 10cm. Diện tích toàn phần của hình trụ đó bằng
-
Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật \(AB=a,AD=a\sqrt{3}, SA\bot \left( ABCD \right)\) và SA=2a. Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng \(\left( SBD \right)\) bằng:
-
Cho số phức z=2-3i. Gọi a,b lần lượt là phần thực và phần ảo của số phức \(\text{w}=\left( 1-2i \right)\overline{z}\). Khi đó giá trị của biểu thức P=a+b+2021 bằng
-
Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hai số phức \({{z}_{1}}\) có điểm biểu diễn M, số phức \({{z}_{2}}\) có điểm biểu diễn là N thỏa mãn \(\left| {{z}_{1}} \right|=1\), \(\,\left| {{z}_{2}} \right|=3\) và \(\widehat{MON}=120{}^\circ \). Giá trị lớn nhất của \(\left| 3{{\text{z}}_{1}}+2{{z}_{2}}-3i \right|\) là \({{M}_{0}}\), giá trị nhỏ nhất của \(\left| 3{{\text{z}}_{1}}-2{{z}_{2}}+1-2i \right|\) là \({{m}_{0}}\). Biết \({{M}_{0}}+{{m}_{0}}=a\sqrt{7}+b\sqrt{5}+c\sqrt{3}+d\), với \(a,b,c,d\in \mathbb{Z}\). Tính a+b+c+d ?
-
Cổ động viên bóng đá của đội tuyển Indonesia muốn làm một chiếc mũ có dạng hình nón sơn hai màu Trắng và Đỏ như trên quốc kỳ. Biết thiết diện qua trục của hình nón là tam giác vuông cân. Cổ động viên muốn sơn màu Đỏ ở bề mặt phần hình nón có đáy là cung nhỏ \(\overset\frown{MBN}\), phần còn là của hình nón sơn màu Trắng. Tính tỉ số phần diện tích hình nón được sơn màu Đỏ với phần diện tích sơn màu Trắng.
.PNG)
