Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có đồ thị \({f}'\left( x \right)\) như hình vẽ bên.
Bất phương trình \({{\log }_{5}}\left[ f\left( x \right)+m+2 \right]+f\left( x \right)>4-m\) đúng với mọi \(x\in \left( -1\,;\,4 \right)\)khi và chỉ khi
Suy nghĩ trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có, bất phương trình \({{\log }_{5}}\left[ f\left( x \right)+m+2 \right]+f\left( x \right)>4-m\).
\(\Leftrightarrow {{\log }_{5}}\left[ f\left( x \right)+m+2 \right]+f\left( x \right)+m+2>6\).
\(\Leftrightarrow {{\log }_{5}}\left[ f\left( x \right)+m+2 \right]+f\left( x \right)+m+2>{{\log }_{5}}\left( 5 \right)+5\).
Đặt: \(t=f\left( x \right)+m+2,\,\,\left( t>0 \right)\).
\(\Rightarrow {{\log }_{5}}\left( t \right)+t>{{\log }_{5}}\left( 5 \right)+5\).
Ta xét, hàm số \(f\left( t \right)={{\log }_{5}}\left( t \right)+t,\,\,\left( t>0 \right)\).
\(\Rightarrow {f}'\left( t \right)=\frac{1}{t\ln 5}+1>0,\,\,\forall t\in \left( 0\,\,;\,+\infty \right)\).
\(\Rightarrow f\left( t \right)={{\log }_{5}}\left( t \right)+t\) là hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( 0\,\,;\,+\infty \right)\).
Ta có \(f\left( t \right)>f\left( 5 \right)\Rightarrow t>5\).
Vậy, bất phương trình \({{\log }_{5}}\left[ f\left( x \right)+m+2 \right]+f\left( x \right)>4-m\) đúng với mọi \(x\in \left( -1\,;\,4 \right)\) khi và chỉ khi \(f\left( x \right)+m+2>5,\,\,\forall x\in \left( -1\,;4 \right)\Leftrightarrow m>3-f\left( x \right),\,\forall x\in \left( -1\,;4 \right)\).
Dựa, vào đồ thị \({f}'\left( x \right)\) ta có:
\(\int_{-1}^{4}{{f}'\left( x \right)\text{d}x}<0\Leftrightarrow f\left( 4 \right)-f\left( -1 \right)<0\Leftrightarrow f\left( 4 \right)<f\left( -1 \right)\).
Mặt khác, dựa vào đồ thị hàm số \({f}'\left( x \right)\), ta có BBT vủa hàm số \(f\left( x \right)\) như sau
Vậy, hàm số \(3-f\left( x \right)\) có BBT như sau.
Vậy, \(m>3-f\left( x \right),\,\forall x\in \left( -1\,;4 \right)\Leftrightarrow \)\(m\ge 3-f\left( 4 \right).\)
Do đó, bất phương trình \({{\log }_{5}}\left[ f\left( x \right)+m+2 \right]+f\left( x \right)>4-m\) đúng với mọi \(x\in \left( -1\,;\,4 \right)\)khi và chỉ khi \(m\ge 3-f\left( 4 \right)\).
Đề thi thử tốt nghiệp THPT môn Toán năm 2023
Trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm
Câu hỏi liên quan
-
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( P \right):x+3y-2z+2=0\) và đường thẳng \(d:\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{-1}=\frac{z-4}{1}\). Đường thẳng qua \(A\left( 1;2;-1 \right)\) và cắt \(\left( P \right)\) và \(d\) lần lượt là tại \(B,\,\,C\left( a;b;c \right)\) sao cho \(C\) là trung điểm \(AB\). Giá trị biểu thức \(a+b+c\) bằng:
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ a;b \right]\). Gọi \(D\) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y=f\left( x \right)\), trục hoành và hai đường thẳng \(x=a,\ x=b\). Thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi quay \(D\) quanh trục hoành được tính theo công thức
-
Giá trị cực tiểu của hàm số \(y=-{{x}^{3}}+3x+4\) là
-
Cho hình lăng trụ đứng \(ABC.{A}'{B}'{C}'\) có mặt đáy \(ABC\) là tam giác vuông tại \(B\) có \(AB=a,\,AC=a\sqrt{3},\,{A}'B=2a\). Gọi \(M\) là trung điểm của cạnh \(AC\). Tính khoảng cách từ \(M\) đến \(\left( {A}'BC \right)\)
-
Cho số phức \(z=1-2i\). Phần ảo của số phức \(\overline{z}\) là?
-
Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\), từ điểm \(A\left( 1;1;0 \right)\) ta kẻ các tiếp tuyến đến mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( -1;1;1 \right)\) và bán kính \(R=1\). Gọi \(M\left( a;b;c \right)\) là một trong các tiếp điểm ứng với các tiếp tuyến trên. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(T=\left| 2a-b+2c \right|\).
-
Biết \(F(x)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x)=\frac{1}{x}\) trên \(\left( 0;+\infty \right)\) và \(F(1)=1\). Tính \(F(3)\)
-
Cho \(\int\limits_{-2}^{2}{f\left( x \right)dx}=9\) và \(\int\limits_{1}^{2}{f\left( x \right)dx}=2\) thì \(\int\limits_{-2}^{1}{f\left( x \right)\text{d}x}\) bằng
-
Cho hàm đa thức bậc ba \(y=f\left( x \right)\) liên tục, có đạo hàm trên \(\left[ -2;2 \right]\) và có đồ thị như hình vẽ
Số điểm cực tiểu của hàm số \(y=\sqrt[3]{{{\left( f\left( x \right) \right)}^{2}}}\) là
-
Trong không gian \(Oxyz\), vectơ nào là vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d:\frac{x}{2}=\frac{y+1}{-3}=\frac{z}{1}\)
-
Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình bên?
-
Xét các số phức \(\text{w}\), \(z\) thỏa mãn \(\left| \text{w}+i \right|=\frac{3\sqrt{5}}{5}\) và \(5w=\left( 2+i \right)\left( z-4 \right)\). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P=\left| z-2i \right|+\left| z-6-2i \right|\).
-
Cho hàm số đa thức bậc ba như hình vẽ.
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\)để hàm số \(y=f\left( f\left( x \right)+m \right)\) có đúng \(6\) điểm cực trị?
-
Gọi \(m,M\) lần lượt là giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của hàm số \(y=x-\ln x\) trên đoạn \(\left[ \frac{1}{2};e \right]\). Giá trị của \(M-m\) là
-
Cho hàm bậc ba \(f\left( x \right)\) có đồ thị hàm số như hình vẽ bên.
Biết hàm số \(f\left( x \right)\) đạt cực trị tại hai điểm \({{x}_{1}},{{x}_{2}}\) thỏa mãn \({{x}_{2}}={{x}_{1}}+2\) và \(f\left( {{x}_{1}} \right)+f\left( {{x}_{2}} \right)=2\). Gọi \({{S}_{1}},{{S}_{2}}\) là diện tích của hai hình phẳng được cho trong hình vẽ bên. Tính tỉ số \(\frac{{{S}_{1}}}{{{S}_{2}}}\)
-
Trong không gian cho hình chữ nhật \(ABCD\) có \(AB=1\) và \(AD=2\). Gọi \(M,N\)lần lượt là trung điểm của \(AD\)và \(BC\). Quay hình chữ nhật đó xung quanh trục MN, ta được hình trụ. Diện tích toàn phần của hình trụ bằng:
-
Tìm họ các nguyên hàm của hàm số \(y={{e}^{x}}+2x\).
-
Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \((S):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-8x+2y+1=0\). Tâm của mặt cầu \((S)\) có tọa độ là
-
Cho hình chóp \(S.ABC\text{D}\) có đáy \(ABC\text{D}\) là hình vuông cạnh \(a\). Tam giác \(SAB\) vuông tại \(S\) và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp \(S.ABC\text{D}\) bằng
-
Cho khối tứ diện \(ABCD\) có thể tích \(V\). Gọi \(V'\) là thể tích của khối tám mặt có các đỉnh là trung điểm các cạnh của khối đa diện \(ABCD\). Tính tỉ số \(\frac{V'}{V}\) bằng:
