Cho hàm số \(f\left( x \right)={{x}^{4}}+b{{x}^{2}}+c\left( b,c\in \mathbb{R} \right)\) có đồ thị là đường cong \(\left( C \right)\) và đường thẳng \(\left( d \right):y=g\left( x \right)\) tiếp xúc với \(\left( C \right)\) tại điểm \({{x}_{0}}=1\). Biết \(\left( d \right)\) và \(\left( C \right)\) còn hai điểm chung khác có hoành độ là \({{x}_{1}},{{x}_{2}}\left( {{x}_{1}}<{{x}_{2}} \right)\) và \(\int\limits_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{2}}}{\frac{g\left( x \right)-f\left( x \right)}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}dx=\frac{4}{3}}\). Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong \(\left( C \right)\) và đường thẳng \(\left( d \right)\).
Suy nghĩ trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTheo giả thiết ta có: \(f\left( x \right)-g\left( x \right)={{\left( x-1 \right)}^{2}}\left( x-{{x}_{1}} \right)\left( x-{{x}_{2}} \right)={{x}^{4}}+b{{x}^{2}}-mx+n\,\,\left( * \right)\)
Ta có: \(\int\limits_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{2}}}{\frac{f\left( x \right)-g\left( x \right)}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}dx=}\int\limits_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{2}}}{\left( x-{{x}_{1}} \right)\left( x-{{x}_{2}} \right)dx=}\int\limits_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{2}}}{\left( x-{{x}_{1}} \right)\left( x-{{x}_{1}}+{{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)dx}\)
\(\begin{align} & =\int\limits_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{2}}}{\left[ {{\left( x-{{x}_{1}} \right)}^{2}}+\left( x-{{x}_{1}} \right)\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right) \right]dx}\\ &=\left. \left( \frac{{{\left( x-{{x}_{1}} \right)}^{3}}}{3}+\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)\frac{{{\left( x-{{x}_{1}} \right)}^{2}}}{2} \right) \right|_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{2}}} \\ & =\frac{{{\left( {{x}_{2}}-{{x}_{1}} \right)}^{3}}}{3}-\frac{{{\left( {{x}_{2}}-{{x}_{1}} \right)}^{3}}}{2}=-\frac{{{\left( {{x}_{2}}-{{x}_{1}} \right)}^{3}}}{6}=\frac{-4}{3} \\ \end{align}\)
Suy ra \({{\left( {{x}_{2}}-{{x}_{1}} \right)}^{3}}=8\Leftrightarrow {{x}_{2}}-{{x}_{1}}=2\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\)
Mặt khác theo định lí Viét bậc 4 của phương trình (*) ta được:
\(1+1+{{x}_{2}}+{{x}_{1}}=0\Leftrightarrow {{x}_{2}}+{{x}_{1}}=-2\,\left( 2 \right)\)
Từ \(\left( 1 \right),\left( 2 \right)\)
\(\Rightarrow \left\{ \begin{align} & {{x}_{2}}=0 \\ & {{x}_{1}}=-2 \\ \end{align} \right.\)
Vậy diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong \(\left( C \right)\) và đường thẳng \(\left( d \right)\)là:
\(S=\int\limits_{-2}^{1}{\left| {{\left( x-1 \right)}^{2}}\left( x+2 \right)x \right|}dx=\frac{29}{5}\)
Đề thi thử tốt nghiệp THPT môn Toán năm 2023
Trường THPT Nguyễn Kiệm
Câu hỏi liên quan
-
Cho hình lăng trụ tam giác đều \(ABC.{A}'{B}'{C}'\) có cạnh đáy bằng \(a,\) cạnh bên bằng \(a\sqrt{2}.\) Gọi \(M\) là trung điểm cạnh \(AC.\) Khi đó khoảng cách từ \(A\) đến mặt phẳng \(\left( {A}'BM \right)\) bằng
-
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật, \(AD=2\sqrt{2},\,\,AB=1,\,\,\)
\(SA=SB,\,\)\(SC=SD.\) Biết rằng hai mặt phẳng \(\left( SAB \right)\) và \(\left( SCD \right)\) vuông góc với nhau và tổng diện tích của hai tam giác \(SAB\) và \(SCD\) bằng \(\sqrt{3}.\) thể tích của khối chóp \(S.ABCD\) bằng
-
Cho \(g\left( x \right)={{x}^{2}}-2x-1\) và hàm số \(y=f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như hình vẽ:
Số nghiệm của phương trình \(f\left[ g\left( x \right) \right]=0\) là
-
Giá trị lớn nhất của hàm số \(y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-9x+25\) trên đoạn \(\left[ -2;2 \right]\) bằng
-
Cho khối chóp có diện tích đáy \(B=6\) và chiều cao \(h=2.\) Thể tích của khối chóp đã cho bằng
-
Một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)=\sin \left( 2x-\frac{\pi }{3} \right)\) là
-
Đạo hàm của hàm số \(y={{5}^{2x}}\) là
-
Cho hàm số bậc ba \(y=f\left( x \right)=m{{x}^{3}}+n{{x}^{2}}+\frac{1}{3}x+q\) có đồ thị \(\left( C \right)\) và cắt đường thẳng \(d:y=g\left( x \right)\) như hình vẽ. Biết \(AB=5\), tổng tất cả các nghiệm của phương trình \(f\left( x \right)-g\left( x \right)-3{{x}^{2}}=2\) là
-
Có bao nhiêu giá trị nguyên \({b>1}\) để với mỗi giá trị của \({b}\) có đúng 5 số nguyên \(a\in \left( -10;10 \right)\) thỏa mãn \({\log _{3} \frac{2 a^{2}+3 a+b}{a^{2}-a+2} \leq a^{2}-6 a+7-b}\).
-
Trong không gian \(Oxyz,\) cho hai điểm \(A\left( 1;-2;-3 \right),\,\,B\left( -1;4;1 \right)\) và đường thẳng \(d:\frac{x+2}{1}=\frac{y-2}{-1}=\frac{z+3}{2}.\) Phương trình đường thẳng \(\Delta \) đi qua trung điểm của đoạn \(AB\) và song song với đường thẳng \(d\) là
-
Cho hình nón đỉnh \(S,\) đáy là hình tròn tâm \(O,\) góc ở đỉnh của hình nón là \(\varphi =120{}^\circ .\) Cắt hình nón bởi mặt phẳng đi qua đỉnh \(S\) được thiết diện là tam giác vuông \(SAB,\) trong đó \(A,B\) thuộc đường tròn đáy. Biết rằng khoảng cách giữa \(SO\) và \(AB\) bằng \(3.\) Diện tích xung quanh của hình nón bằng
-
Trong không gian \(Oxyz\), phương trình nào dưới đây là phương trình của mặt cầu tâm \(I\left( 1;\ 0;\ -2 \right),\) bán kính \(R=4?\)
-
Cho hai số phức \({{z}_{1}}=1-2i\) và \({{z}_{2}}=3+4i.\) Số phức \({{z}_{1}}.{{z}_{2}}\) bằng
-
Tính tích phân \(I=\int\limits_{1}^{5}{\frac{1}{\sqrt{2x-1}+1}\text{d}x}\) bằng cách đặt \(u=\sqrt{2x-1}\), mệnh đề nào dưới đây đúng?
-
Nghiệm của phương trình \({{2}^{2x-1}}=8\) là
-
Trong không gian \(Oxyz,\) cho mặt phẳng \(\left( P \right):x-y+z+7=0,\) đường thẳng \(d:\frac{x}{1}=\frac{y}{-2}=\frac{z}{2}\) và mặt cầu \(\left( S \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{\left( z-2 \right)}^{2}}=5.\) Gọi \(A,\,\,B\) là hai điểm trên mặt cầu \(\left( S \right)\) và \(AB=4;\) \({A}',\,\,{B}'\) là hai điểm nằm trên mặt phẳng \(\left( P \right)\) sao cho \(A{A}',\,\,B{B}'\) cùng song song với đường thẳng \(d.\) Giá trị lớn nhất của tổng \(A{A}'+\,B{B}'\) gần nhất với giá trị nào sau đây
-
Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y=\frac{2x-1}{x+1}\) là đường thẳng có phương trình
-
Cho \(f\left( 1 \right)=2\) và \(\int\limits_{1}^{3}{{f}'\left( x \right)dx}=6\) tính \(f\left( 3 \right)\)
-
Số phức liên hợp của số phức \(z=-2+3i\) là
-
Cho hình hộp đứng có đáy là hình vuông cạnh bằng \(a,\) độ dài cạnh bên bằng \(3a.\) Thể tích của khối hộp đã cho bằng
