Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông tại \(B,BC=2a,BA=a\sqrt{3}.\) Biết tam giác \(SAB\) vuông tại \(A,\) tam giác \(SBC\) cân tại \(S,\left( SAB \right)\) tạo với mặt phẳng \(\left( SBC \right)\) một góc \(\varphi \) thỏa mãn \(\sin \varphi =\sqrt{\frac{20}{21}}.\) Thể tích của khối chóp \(S.ABC\) bằng
Suy nghĩ trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.png)
+ Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC,\) dựng hình chữ nhật \(ABMH\)
Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l} AB \bot SH\\ BC \bot SH \end{array} \right. \Rightarrow SH \bot \left( {ABC} \right)\)
Kẻ \(HI\bot SA\Rightarrow HI\bot \left( SAB \right).\)
\(HJ\bot SM\Rightarrow HJ\bot \left( SBC \right)\)
\(\Rightarrow \left( \left( SAB \right),\left( SBC \right) \right)=\angle IHJ.\)
+ Đặt \(SH=x\Rightarrow HI=\frac{ax}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{x}^{2}}}};HJ=\frac{a\sqrt{3}a}{\sqrt{3{{a}^{2}}+{{x}^{2}}}};SI=\frac{{{x}^{2}}}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{x}^{2}}}};SJ=\frac{{{x}^{2}}}{\sqrt{3{{a}^{2}}+{{x}^{2}}}}.\)
\(\cos ASM=\frac{{{x}^{2}}}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{x}^{2}}}.\sqrt{3{{a}^{2}}+{{x}^{2}}}};I{{J}^{2}}=S{{I}^{2}}+S{{J}^{2}}-2SI.SJ.\cos ASM=\frac{4{{a}^{2}}{{x}^{4}}}{\left( {{a}^{2}}+{{x}^{2}} \right)\left( 3{{a}^{2}}+{{x}^{2}} \right)}\)
\(\sin \varphi =\sqrt{\frac{20}{21}}\Rightarrow \cos \varphi =\sqrt{\frac{1}{21}}.\)
\(\cos \varphi =\frac{H{{I}^{2}}+H{{J}^{2}}-I{{J}^{2}}}{2HI.HJ}\)
\(\Leftrightarrow \frac{2}{\sqrt{21}}.\frac{ax}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{x}^{2}}}}.\frac{a\sqrt{3}a}{\sqrt{3{{a}^{2}}+{{x}^{2}}}}=\frac{{{a}^{2}}{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}+{{x}^{2}}}+\frac{3{{a}^{2}}{{x}^{2}}}{3{{a}^{2}}+{{x}^{2}}}-\frac{4{{a}^{2}}{{x}^{4}}}{\left( {{a}^{2}}+{{x}^{2}} \right)\left( 3{{a}^{2}}+{{x}^{2}} \right)}\)
\(\Leftrightarrow \frac{2}{\sqrt{7}}\sqrt{{{a}^{2}}+{{x}^{2}}}.\sqrt{3{{a}^{2}}+{{x}^{2}}}=6{{a}^{2}}\Leftrightarrow x=a\sqrt{6}.\)
\({{V}_{S.ABC}}=\frac{1}{3}SH.{{S}_{ABC}}={{a}^{3}}\sqrt{2}.\)
Đề thi thử THPT QG năm 2021 môn Toán
Trường THPT Lý Thái Tổ lần 3
Câu hỏi liên quan
-
Cho hình lăng trụ có hai đáy là đường tròn tâm \(O\) và \(O',\) bán kính đáy bằng chiều cao bằng \(4a. \) Trên đường tròn đáy có tâm \(O\) lấy điểm \(A,D;\) trên đường tròn \(O'\)lấy điểm \(B,C\) sao cho \(AB\) song song với \(CD\) và \(AB\) không cắt \(OO'.\) Tính độ dài \(AD\) để thể tích khối chóp \(O'.ABCD\) đạt giá trị lớn nhất?
-
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại \(B\) có \(AC=2A. \) Cạnh \(SA\) vuông góc với đáy và \(SA=2a. \) Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua \(A,\) vuông góc với cạnh \(SB\) tại \(K\) và cắt cạnh \(SC\) tại \(H.\) Gọi \({{V}_{1}},{{V}_{2}}\) lần lượt là thể tích của khối tứ diện \(SAHK\) và khối đa diện \(ABCHK.\) Tỉ số \(\frac{{{V}_{2}}}{{{V}_{1}}}\) bằng
-
Tập nghiệm của bất phương trình \({{6.9}^{x}}-{{12.6}^{x}}+{{6.4}^{x}}\le 0\) có dạng \(S=\left[ a;b \right].\) Giá trị của biểu thức \({{a}^{2}}+{{b}^{2}}\) bằng
-
Gọi \(S\) là tổng các nghiệm của phương trình \(\log _{\frac{1}{2}}^{2}x-6{{\log }_{8}}\left( 4x \right)+1=0.\) Tính giá trị của \(S.\)
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau:
.png)
Giá trị cực tiểu của hàm số là
-
Cho hàm số \(y=\frac{mx-18}{x-2m}.\) Gọi \(S\) là tập hợp các giá trị nguyên của tham số \(m\) để hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( 2;+\infty \right).\) Tổng các phần tử của \(S\) bằng
-
Cho lăng trụ tam giác \(ABC.A'B'C'\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông tại \(A,AB=a\sqrt{3},AC=a. \) Điểm \(A'\) cách đều ba điểm \(A,B,C. \) Góc giữa đường thẳng \(AB'\) và mặt phẳng \(\left( ABC \right)\) bằng \({{60}^{0}}.\) Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AA'\) và \(BC\) bằng
-
Đội văn nghệ của lớp 12A có 5 học sinh nam và 7 học sinh nữ. Có bao nhiêu cách chọn ra 2 học sinh của đội văn nghệ sao cho 2 học sinh có 1 học sinh nam và 1 học sinh nữ.
-
Gọi \(M,m\) lần lượt là giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y=-{{x}^{3}}+6{{x}^{2}}-9x+5\) trên đoạn \(\left[ -1;2 \right]\). Khi đó tổng \(M+m\) bằng
-
Cho hàm số \(y=\frac{x+m}{x-3}(m\) là tham số) thỏa mãn \(\underset{\left[ -1;2 \right]}{\mathop{\min }}\,y=-2.\) Mệnh đề nào dưới đây đúng?
-
Cho phương trình \(\log _{3}^{2}x-\left( 2m+1 \right){{\log }_{3}}x+{{m}^{2}}+m=0.\) Gọi \(S\) là tập hợp các giá trị của tham số thực \(m\) để phương trình có hai nghiệm phân biệt \({{x}_{1}},{{x}_{2}}\left( {{x}_{1}}<{{x}_{2}} \right)\) thỏa mãn \(\left( {{x}_{1}}+1 \right)\left( {{x}_{2}}+3 \right)=48\). Số phần tử của tập \(S\) là
-
Hình bát diện đều có bao nhiêu cạnh?
-
Số nghiệm của phương trình \({{5}^{{{x}^{2}}-3x+2}}=25\) là
-
Cho bất phương trình \(\ln \left( {{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+m \right)\ge \ln \left( {{x}^{2}}+5 \right).\) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\in \left[ -20;20 \right]\) để bất phương trình đúng nghiệm với mọi \(x\) trên đoạn \(\left[ 0;3 \right].\)
-
Cho hai số dương \(a,b\) thỏa mãn \({{a}^{2}}{{b}^{3}}=64.\) Giá trị của biểu thức \(P=2{{\log }_{2}}a+3{{\log }_{2}}b\) bằng
-
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh bằng \(2a\) Cạnh bên \(SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy \(\left( ABCD \right).\) Góc giữa mặt phẳng \(\left( SBC \right)\) và mặt đáy bằng \({{60}^{0}}.\) Tính thể tích của khối chóp.
-
Đường cong ở hình dưới đây là đồ thị của hàm số \(y=\frac{x+a}{bx+c},\left( a,b,c\in \mathbb{Z} \right).\) Khi đó giá trị biểu thức \(T=a-3b-2c\) bằng
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ:
.jpg.png)
Gọi \(S\) là tập các giá trị nguyên của tham số \(m\) để phương trình \(f\left( 4\left| \sin x \right|+m \right)-3=0\) có đúng 12 nghiệm phân biệt thuộc nửa khoảng \(\left( 0;4\pi \right].\) Tổng các phần tử của \(S\) bằng
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) có đồ thị như hình vẽ. Phương trình \(f\left( 2-f\left( x \right) \right)=0\) có tất cả bao nhiêu nghiệm thực phân biệt?
.jpg.png)
-
Biết cho \({{9}^{x}}+{{9}^{-x}}=47.\) Khi đó giá trị của biểu thức \(P=\frac{13+{{3}^{x}}+{{3}^{-x}}}{2-{{3}^{x}}-{{3}^{-x}}}\) bằng
