Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy là tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(C\) và \(SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy. Cho \(SC=a\), mặt phẳng \(\left( SBC \right)\) tạo với mặt đáy một góc \(\alpha \). Thể tích khối chóp \(S.ABC\) đạt giá trị lớn nhất là
Suy nghĩ trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiChọn B
Ta có \(\widehat{\left( \left( SBC \right),\left( ABC \right) \right)}=\left( \widehat{SC,AC} \right)=\widehat{SCA}=\alpha \)
Xét \(\Delta SAC\) vuông tại \(A\) có
\(\left\{ \begin{align} & SA=SC.\sin \alpha =a\sin \alpha \\ & AC=SC.\cos \alpha =a\cos \alpha \\ \end{align} \right.\)
\(\Rightarrow {{V}_{S.ABC}}=\frac{1}{3}{{S}_{\Delta ABC}}.SA\)\( =\frac{1}{3}.\left( \frac{1}{2}A{{C}^{2}} \right).SA\)
\(=\frac{1}{6}.{{\left( a\cos \alpha \right)}^{2}}.a\sin \alpha \)\( =\frac{{{a}^{3}}}{6}{{\cos }^{2}}\alpha .\sin \alpha .\)
\({{V}_{S.ABC}}\) đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi biểu thức
\(P={{\cos }^{2}}\alpha .\sin \alpha .=\left( 1-{{\sin }^{2}}\alpha \right).\sin \alpha \) đạt giá trị lớn nhất.
Đặt \(t=\sin \alpha \).
Vì \(0<\alpha <90{}^\circ \) nên \(0<\sin \alpha <1\)
\(\Rightarrow 0<t<1\)
Ta có \(P=f\left( t \right)=\left( 1-{{t}^{2}} \right)t=-{{t}^{3}}+t\) xác định và liên tục trên \(\left( 0;1 \right)\).
\({f}'\left( t \right)=-3{{t}^{2}}+1\)\( \Rightarrow {f}'\left( t \right)=0\)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & t=\frac{\sqrt{3}}{3}\text{ (nhan)} \\ & t=-\frac{\sqrt{3}}{3}\text{ (loai) } \\ \end{align} \right.\)
Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên, ta có \(\underset{\left( 0;1 \right)}{\mathop{\max f\left( t \right)}}\,=\frac{2\sqrt{3}}{9}\) khi \(t=\frac{\sqrt{3}}{3}\).
Vậy \(\max {{V}_{S.ABC}}=\frac{{{a}^{3}}}{6}.{{P}_{\max }}\)\( =\frac{{{a}^{3}}}{6}.\frac{2\sqrt{3}}{9}=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{27}\) khi và chỉ khi \(\sin \alpha =\frac{\sqrt{3}}{3}\).
Đề thi thử tốt nghiệp THPT môn Toán năm 2023
Trường THPT Phú Lâm
Câu hỏi liên quan
-
Cho hàm số bậc ba \(y=f\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ, biết \(f\left( x \right)\) đạt cực tiểu tại điểm \(x=1\) và thỏa mãn \(\left[ f\left( x \right)+1 \right]\) và \(\left[ f\left( x \right)-1 \right]\) lần lượt chia hết cho \({{\left( x-1 \right)}^{2}}\) và \({{\left( x+1 \right)}^{2}}\). Gọi \({{S}_{1}},{{S}_{2}}\) lần lượt là diện tích như trong hình bên. Tính \(2{{S}_{2}}+8{{S}_{1}}\).
-
Gọi \({{z}_{1}}\) là nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình \({{z}^{2}}-2z+5=0\). Tọa độ điểm biểu diễn số phức \(\frac{7-4i}{{{z}_{1}}}\) trên mặt phẳng phức là
-
Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số: \(y={{x}^{3}}-3x\), \(y=x\). Tính S.=
-
Cho tam giác \(ABC\)có trọng tâm \(G\). Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề SAI?
-
Cho hình trụ có thiết diện qua trục là một hình vuông. Thiết diện của hình trụ tạo bởi mặt phẳng song song và cách trục một khoảng bằng \(a\) có diện tích bằng \(8{{a}^{2}}\sqrt{3}\). Thể tích của khối trụ là
-
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu \(\left( S \right):\,{{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-3 \right)}^{2}}+{{\left( z+1 \right)}^{2}}=16\) và điểm \(A\left( -1;-1;-1 \right).\) Xét các điểm M thuộc \(\left( S \right)\)sao cho đường thẳng AM tiếp xúc với \(\left( S \right).\) M luôn thuộc một mặt phẳng cố định có phương trình là
-
Hàm số nào dưới đây có bảng biến thiên như sau:
-
Đặt \(a={{\log }_{2}}5,\,b={{\log }_{3}}5\). Hãy biểu diễn \({{\log }_{6}}5\)theo \(a\) và \(b\).
-
Đạo hàm của hàm số \(y={{\log }_{2023}}\left( {{x}^{2}}+x \right)\) là
-
Đạo hàm của hàm số \(y={{8}^{x}}\) là
-
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\), \(SA=a\) và \(SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy. Thể tích khối chóp \(S.ABCD\) bằng
-
Cho hai đường thẳng chéo nhau \(a\) và \(b\). Lấy hai điểm \(A,B\) phân biệt thuộc \(a\) và hai điểm \(C,D\) phân biệt thuộc \(b\). Khi đó hai đường thẳng \(A\text{D}\) và \(BC\) ở vị trí
-
Cho số phức \(z=-1-2\sqrt{6}i\). Phần thực và phần ảo của số phức \(\overline{z}\) là?
-
Cho hàm số \(y=a{{x}^{4}}+b{{x}^{2}}+c\), \(\left( a,b,c\in R \right)\) có đồ thị là đường cong như hình bên. Điểm cực tiểu của hàm số đã cho là:
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm\(f'\left( x \right)=x\left( x-1 \right){{\left( x+4 \right)}^{2023}},\,\forall x\in \mathbb{R}\) . Số điểm cực trị của hàm số đã cho là
-
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
-
Cho \(I=\int\limits_{1}^{2}{\frac{{{x}^{2}}+{{\left( x+\ln x \right)}^{2}}+x}{{{x}^{2}}{{\left( x+\ln x \right)}^{2}}}\text{d}x}=\frac{a}{2}-\frac{1}{b+\ln c}\) với \(a\), \(b\), \(c\) là các số nguyên dương. Khẳng định nào sau đây đúng ?
-
Nghiệm của phương trình \({{\log }_{3}}\left( 2x+1 \right)=1+{{\log }_{3}}\left( x-1 \right)\) là
-
Cho hình chóp \(S.ABC\)có \(SA=a\) và \(SA\) vuông góc với đáy. Biết đáy là tam giác vuông cân tại \(A\) và \(BC=a\sqrt{2}\). Tính khoảng cách từ \(A\) đến mặt phẳng \(\left( SBC \right)\).
-
Hàm số nào sau đây đồng biến trên \(\mathbb{R}\)?
