Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh AB bằng a. Các cạnh bên SA, SB, SC tạo với đáy một góc 60o. Gọi D là giao điểm của SA với mặt phẳng qua BC và vuông góc với SA. Tính theo a thể tích khối chóp S.DBC
Suy nghĩ trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiGọi O là tâm của tam giác đều ABC, I là trung điểm của AB
\( \Rightarrow SO \bot \left( {ABC} \right)\,\, \Rightarrow \left( {SA;\left( {ABC} \right)} \right) = \widehat {SAO} = 60^\circ \)
\(\Delta ABC\) đều, cạnh a \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}OA = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\\{S_{ABC}} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\end{array} \right.\)
\(\Delta SAO\) vuông tại O \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}SO = OA.\tan 60^\circ = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}.\sqrt 3 = a\\SA = \dfrac{{OA}}{{\cos 60^\circ }} = \dfrac{{\dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}}}{{\dfrac{1}{2}}} = \dfrac{{2a\sqrt 3 }}{3}\end{array} \right.\)
Thể tích khối chóp S.ABC là: \({V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{3}.SO.{S_{ABC}} = \dfrac{1}{3}.a.\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}}\)
\(\Delta SAB\) cân tại S \( \Rightarrow SI \bot AB\); \(\left( {BCD} \right) \bot SA\,\, \Rightarrow BD \bot SA\)
\(\Delta SAI\) đồng dạng \(\Delta BAD\)
\( \Rightarrow \dfrac{{SA}}{{AB}} = \dfrac{{AI}}{{AD}} \Leftrightarrow \dfrac{{\dfrac{{2a\sqrt 3 }}{3}}}{a} = \dfrac{{\dfrac{a}{2}}}{{AD}} \Rightarrow AD = \dfrac{{\dfrac{a}{2}.a}}{{\dfrac{{2a\sqrt 3 }}{3}}} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}\)\( \Rightarrow \dfrac{{AD}}{{SA}} = \dfrac{{\dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}}}{{\dfrac{{2a\sqrt 3 }}{3}}} = \dfrac{3}{8} \Rightarrow \dfrac{{SD}}{{SA}} = \dfrac{5}{8}\)
Ta có: \(\dfrac{{{V_{S.DBC}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \dfrac{{SD}}{{SA}} = \dfrac{5}{8} \Rightarrow {V_{S.DBC}} = \dfrac{5}{8}.{V_{S.ABC}} = \dfrac{5}{8}.\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}} = \dfrac{{5{a^3}\sqrt 3 }}{{96}}\).
Chọn: C
Câu hỏi liên quan
-
Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC và E là điểm đối xứng với B qua D. Mặt phẳng (MNE) chia khối tứ diện ABCD thành hai khối đa diện, trong đó khối đa diện chứa đỉnh A có thể tích V. Tính V.
-
Đồ thị hình bên là của hàm số nào?
.JPG)
-
Hệ số của số hạng chứa \({x^7}\)trong khai triển nhị thức \({\left( {x - \dfrac{2}{{x\sqrt x }}} \right)^{12}}\)(với \(x > 0\)) là:
-
Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{1 + 3x}}{{\sqrt {2{x^2} + 3} }}\)
-
Cho hàm số \(y = \dfrac{{2x + 1}}{{x + 1}}\), chọn mệnh đề đúng ?
-
Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D; AB = AD = 2a;CD = a . Góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 600 . Gọi I là trung điểm của AD. Biết 2 mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
-
Cho hàm số \(y = \dfrac{{2x + 1}}{{x - 1}}\) xác định trên R\{1} . Đạo hàm của hàm số là:
-
Đồ thị sau đây là của hàm số nào?
.JPG)
-
Cho hình chữ nhật \(MNPQ.\) Phép tịnh tiến theo véc tơ \(\overrightarrow {MN} \) biến điểm \(Q\) thành điểm nào?
-
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\)có đạo hàm \(f'(x)\) trên R. Đồ thị hình bên là của hàm số \(y = f'(x)\). Hỏi hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng dưới đây?
-
Cho tam giác ABC vuông cân tại A có BC =2. Tính tích vô hướng \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CA} \):
-
Cho phương trình \(\sin 2x - \sin x - 2m\cos x + m = 0,\) \(m\) là tham số. Số các giá trị nguyên của \(m\) để phương trình đã cho có đúng hai nghiệm phân biệt trên \(\left[ {\dfrac{{7\pi }}{4};\,\,3\pi } \right]\) là:
-
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông, \(SA\) vuông góc với đáy, mặt bên \(\left( {SCD} \right)\) hợp với đáy một góc bằng \(60^\circ \), \(M\) là trung điểm của \(BC\). Biết thể tích khối chóp \(S.ABCD\) bằng \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}\). Khoảng cách từ \(M\) đến mặt phẳng \(\left( {SCD} \right)\) bằng:
-
Cho hàm số \(y = \dfrac{{2mx + 1}}{{x - m}}\,\) với tham số \(m \ne 0\). Giao điểm hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số thuộc đường thẳng có phương trình nào dưới đây ?
-
Cho dãy số (\({u_n}\)) xác định bởi \({u_1} = 1\) ;\({u_{n + 1}} = \dfrac{3}{2}\left( {{u_n} - \dfrac{{n + 4}}{{{n^2} + 3n + 2}}} \right)\) . Tìm \({u_{50}}\) ?
-
Tính số chỉnh hợp chập \(5\) của \(8\) phần tử.
-
Đường thẳng nào dưới đây là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{3 - 2x}}{{x - 1}}\)?
-
Thể tích khối lập phương có cạnh bằng 2cm bằng:
-
Tìm số tự nhiên \(n\) thỏa mãn \(\dfrac{{C_n^0}}{{1.2}} + \dfrac{{C_n^1}}{{2.3}} + \dfrac{{C_n^2}}{{3.4}} + ... + \dfrac{{C_n^n}}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}} = \dfrac{{{2^{2018}} - n - 3}}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}\).
-
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD. Gọi M(1;3) là trung điểm của cạnh BC, \(N\left( { - \dfrac{3}{2};\dfrac{1}{2}} \right)\) là điểm trên cạnh AC sao cho \(AN = \dfrac{1}{4}AC\) . Xác định tọa độ điểm D, biết D nằm trên đường thẳng \(x - y - 3 = 0\)
