Cho HS \(f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn \(f\left( 0 \right)=0\) và \({f}'\left( x \right)\left( 1+{{e}^{f\left( x \right)}} \right)=1+{{e}^{x}},\forall x\in \mathbb{R}.\) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y=f\left( x \right)\), trục hoành và 2 đường thẳng \(x=1,x=3\)?
Suy nghĩ trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai+) Ta có \({f}'\left( x \right)\left( 1+{{e}^{f\left( x \right)}} \right)=1+{{e}^{x}}\Rightarrow {f}'\left( x \right)+{f}'\left( x \right){{e}^{f\left( x \right)}}=1+{{e}^{x}}\Rightarrow {{\left[ f\left( x \right)+{{e}^{f\left( x \right)}} \right]}^{\prime }}=1+{{e}^{x}}\)
\(\Rightarrow f\left( x \right)+{{e}^{f\left( x \right)}}=x+{{e}^{x}}+C.\)
+) Lại có \(f\left( 0 \right)=0\Rightarrow C=0\Rightarrow f\left( x \right)+{{e}^{f\left( x \right)}}=x+{{e}^{x}}.\)
Xét hàm số \(g\left( t \right)=t+{{e}^{t}}\) với \(t\in \mathbb{R}.\) \({g}'\left( t \right)=1+{{e}^{t}}>0,\forall t\in \mathbb{R}\) nên \(g\left( t \right)\) đồng biến trên \(\mathbb{R}.\)
Suy ra \(f\left( x \right)+{{e}^{f\left( x \right)}}=x+{{e}^{x}}\)\( \Rightarrow f\left( x \right)=x.\) Do đó
\(S=\int\limits_{1}^{3}{xdx}=\frac{1}{2}{{x}^{2}}\left| \begin{align} & 3 \\ & 1 \\ \end{align} \right.=4.\)
Chọn A
Đề thi thử tốt nghiệp THPT môn Toán năm 2023-2024
Trường THPT Lam Sơn
Câu hỏi liên quan
-
Trong không gian \(Oxyz\), cho hai mặt cầu \(\left( S \right):\,\,{{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=9\) và \(\left( S' \right):\,\,{{\left( x+2 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=4\). Khẳng định nào đúng?
-
Cho hàm số bậc 3 \(y=f\left( x \right)\) có đồ thị như hình sau:
.PNG)
Hàm số \(y=f\left( x \right)\) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
-
Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2y+4z-2=0\). Tính bán kính mặt cầu bằng?
-
Tập nghiệm của bất phương trình sau \(lo{{g}_{2}}\left( x+1 \right)<3\) là?
-
Cho số phức sau \(z=-4+5i\). Biểu diễn hình học của \(z\) là điểm có tọa độ?
-
Đồ thị hàm số nào có dạng như đường cong trong hình bên?
.png)
-
Diện tích xung quanh Sxq của hình nón có bán kính đáy \(r=5cm\) và độ dài đường sinh \(l=7cm\) bằng?
-
Cho hàm số bậc 3 \(y=f\left( x \right)\) có đồ thị là đường cong trong hình bên:
.PNG)
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để phương trình \(f\left( x \right)+1=m\) có hai nghiệm không âm?
-
Có tất cả bao nhiêu số nguyên \(x\) thỏa mãn \(\text{lo}{{\text{g}}_{3}}\frac{{{x}^{2}}-9}{125}\le \text{lo}{{\text{g}}_{5}}\frac{{{x}^{2}}-9}{27}\)?
-
Trong không gian \(Oxy\), góc giữa 2 trục \(Ox\) và \(Oz\) bằng?
-
Tích các nghiệm của phương trình sau \(\log _{2}^{2}x-3{{\log }_{2}}x+2=0\) là?
-
Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy là tam giác vuông tại \(B\), \(AB=a\), \(AC=3a\) và \(SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy. K/c từ \(C\) đến mặt phẳng \(\left( SAB \right)\) bằng?
-
Trong không gian \(Oxyz\), cho 3 điểm \(M\left( 2;1;-3 \right)\), \(N\left( 1;0;2 \right)\); \(P\left( 2;-3;5 \right)\). Tìm 1 vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n}\) của mặt phẳng \(\left( MNP \right)\)?
-
Cho số phức sau \(z=3+5i\), phần ảo của số phức \({{\bar{z}}^{2}}\) bằng?
-
Cho hàm số \(y=f(x)\) có BBT như sau:
Giá trị cực đại của hàm số đã cho là?
-
Cho tập hợp \(M=\left\{ 1;2;3;4;5 \right\}\). Số tập con gồm 2 phần tử của tập hợp \(M\) là?
-
Cho hàm số \(y=\frac{ax+b}{cx+d}\) có đồ thị là đường cong trong hình. Tọa độ giao điểm của đồ thị hàm số đã cho và trục hoành là?
-
Cho \(\int\limits_{2}^{4}{f\left( x \right)\text{d}x}=10\). Tính giá trị của \(I=\int\limits_{2}^{4}{\left[ 3f\left( x \right)-5 \right]\text{d}x}\)?
-
Trong không gian \(Oxyz\), cho điểm \(M\left( 1;0;-2 \right)\) và đường thẳng \(d:\left\{ \begin{align} & x=1-2t \\ & y=t \\ & z=-1-t \\ \end{align} \right.\). Gọi \(\left( P \right)\) là mặt phẳng đi qua \(M\) và chứa \(d\). Tổng k/c từ điểm \(N\left( -3;-2;1 \right)\) và \(Q\left( -1;3;0 \right)\) đến \(\left( P \right)\) bằng?
-
Cho khối lăng trụ đứng có chiều cao bằng \(3\) và đáy là tam giác đều có độ dài cạnh bằng 2. Tính thể tích của khối lăng trụ đã cho?
