Cho số phức \(z\) thỏa mãn \(\left| z+1 \right|\ge 1\). Gọi GTLN và GTNN của biểu thức \(P=\left| \frac{\left( 1+i \right)z+i+2}{z+1} \right|\) lần lượt là \(M\) và \(m\). Khi đó giá trị của \(\left( {{M}^{2}}+{{m}^{2}} \right)\) bằng?
Suy nghĩ trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai+) Ta có: \(P=\left| \frac{\left( 1+i \right)z+i+2}{z+1} \right|=\left| \frac{\left( z+1 \right)\left( 1+i \right)+1}{z+1} \right|=\frac{\left| \left( z+1 \right)\left( 1+i \right)+1 \right|}{\left| z+1 \right|}\)
+) Áp dụng bất đẳng thức: \(\left| {{z}_{1}} \right|-\left| {{z}_{2}} \right|\le \left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|\le \left| {{z}_{1}} \right|+\left| {{z}_{2}} \right|\), ta có:
\(\frac{\left| \left( z+1 \right)\left( 1+i \right) \right|-\left| 1 \right|}{\left| z+1 \right|}\le P\le \frac{\left| \left( z+1 \right)\left( 1+i \right) \right|+\left| 1 \right|}{\left| z+1 \right|}\) \(\Leftrightarrow \left| 1+i \right|-\frac{1}{\left| z+1 \right|}\le P\le \left| 1+i \right|+\frac{1}{\left| z+1 \right|}\)
\(\Leftrightarrow \sqrt{2}-\frac{1}{\left| z+1 \right|}\le P\le \sqrt{2}+\frac{1}{\left| z+1 \right|}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\)
Mà: \(\left| z+1 \right|\ge 1\Rightarrow \left\{ \frac{1}{\left| z+1 \right|}\le 1;\,\,\,\frac{-1}{\left| z+1 \right|}\ge -1\,\,\,(2) \right.\)
Từ và \(\Rightarrow \sqrt{2}-1\le P\le \sqrt{2}+1\)
Bây giờ ta xét dấu “=” xảy ra khi nào.
Với \({{z}_{1}}={{a}_{1}}+{{b}_{1}}i;\,\,\,{{z}_{2}}={{a}_{2}}+{{b}_{2}}i\,\,\,({{a}_{1}},{{b}_{1}},{{a}_{2}},{{b}_{2}}\in \mathbb{R})\), ta có:
\(\begin{array}{l} \bullet \,\,\,\left| {{z_1} + {z_2}} \right| = \left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right| \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {a_1}{b_2} = {a_2}{b_1}\\ {a_1}{a_2} + {b_1}{b_2} \ge 0 \end{array} \right.;\,\,\,\\ \bullet \,\,\,\left| {{z_1}} \right| - \left| {{z_2}} \right| = \left| {{z_1} + {z_2}} \right| \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {a_1}{b_2} = {a_2}{b_1};\,\,\left| {{z_1}} \right| \ge \left| {{z_2}} \right|\\ {a_1}{a_2} + {b_1}{b_2} \le 0 \end{array} \right. \end{array}\)
Giả sử: \(z=a+bi\,\,\,(a,b\in \mathbb{R})\Rightarrow \left( z+1 \right)\left( 1+i \right)=\left( a+1-b \right)+\left( a+b+1 \right)i\).
Mà: \(1=1+0.i\). Do đó:
\(\bullet \,\,\,P=\sqrt{2}+1\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & \left| \left( z+1 \right)\left( 1+i \right)+1 \right|=\left| \left( z+1 \right)\left( 1+i \right) \right|+\left| 1 \right| \\ & \left| z+1 \right|=1 \\ \end{align} \right.\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a + b + 1 = 0\\ a + 1 - b \ge 0\\ \sqrt {{{(a + 1)}^2} + {b^2}} = 1 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a + 1 = - b\\ - 2b \ge 0\\ 2{b^2} = 1 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = \frac{{\sqrt 2 }}{2} - 1\\ b \le 0\\ b = - \frac{{\sqrt 2 }}{2} \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow z = \frac{{\sqrt 2 }}{2} - 1 - \frac{{\sqrt 2 }}{2}i \end{array}\)
\(\bullet \,\,\,P=\sqrt{2}-1\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & \left| \left( z+1 \right)\left( 1+i \right)+1 \right|=\left| \left( z+1 \right)\left( 1+i \right) \right|-\left| 1 \right| \\ & \left| z+1 \right|=1 \\ \end{align} \right.\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a + b + 1 = 0\\ a + 1 - b \le 0\\ \sqrt {{{(a + 1)}^2} + {b^2}} = 1 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a + 1 = - b\\ - 2b \le 0\\ 2{b^2} = 1 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = - \frac{{\sqrt 2 }}{2} - 1\\ b \ge 0\\ b = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow z = - \frac{{\sqrt 2 }}{2} - 1 + \frac{{\sqrt 2 }}{2}i \end{array}\)
Vậy:
\(\left\{ \begin{align} & M=\sqrt{2}+1 \\ & m=\sqrt{2}-1 \\ \end{align} \right.\)
\(\,\,\,\,\,\Rightarrow {{M}^{2}}+{{m}^{2}}=6\).
Chọn C
Đề thi thử Tốt nghiệp THPT môn Toán năm 2023-2024
Trường THPT Trần Khai Nguyên
Câu hỏi liên quan
-
Biết rằng \({{\log }_{3}}4=a\) và \(T={{\log }_{12}}18\). Phát biểu nào là đúng?
-
Cho số phức \(z=2i+1\). Điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn của số phức \(z\) trên mặt phẳng tọa độ?
-
Cho HS \(f\left( x \right)\), \(g\left( x \right)\) liên tục trên \(\left[ 0;\,2 \right]\) và \(\int\limits_{0}^{2}{f\left( x \right)\text{d}x}=2\), \(\int\limits_{0}^{2}{g\left( x \right)\text{d}x}=-2\). Tính \(\int\limits_{0}^{2}{\left[ 3f\left( x \right)+g\left( x \right) \right]\text{d}x}\)?
-
Với \(a,b\) là các số thực dương tùy ý, ta có \(\log \left( {{a}^{5}}{{b}^{10}} \right)\) bằng?
-
Có tất cả bao nhiêu cách chọn ra 2 học sinh gồm nam và nữ từ nhóm \(10\) học sinh gồm \(4\) nam và \(6\) nữ?
-
Trong không gian \(Oxyz\), cho \(A\left( 1;1;-2 \right)\); \(B\left( 2;0;3 \right)\); \(C\left( -2;4;1 \right)\). Mp đi qua \(A\) và vuông góc với đường thẳng \(BC\) có phương trình là?
-
Trong không gian \(Oxyz,\) hình chiếu vuông góc của điểm \(M\left( 3;\,1;\,2 \right)\) lên trục \(Oy\) là điểm nào?
-
Gọi \(\left( H \right)\) là hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị sau \(y={{x}^{2}}-2x\), \(y=0\) trong mặt phẳng \(Oxy\). Quay hình \(\left( H \right)\) quanh trục hoành ta được một khối tròn xoay có thể tích bằng?
-
Cho CSC \(\left( {{u}_{n}} \right)\) có số hạng đầu \({{u}_{1}}=2\) và số hạng thứ tư \({{u}_{4}}=17\). Công sai của cấp số cộng đã cho bằng?
-
Có tất cả bao nhiêu số phức \(z\) thỏa mãn \(\left( {{z}^{2}}-2z+7 \right)\left( z-2{{\overline{z}}^{2}} \right)=0\)?
-
Tập nghiệm của bất phương trình sau \({{5}^{2x+1}}\le 25\) là?
-
Đường TCĐ của đồ thị hàm số \(y=\frac{x}{x-1}\) là?
-
Cho HS \(f\left( x \right)\) thỏa mãn \(f\left( 0 \right)=\frac{2}{3}\) và \(\left( \sqrt{x}+\sqrt{x+1} \right).{f}'\left( x \right)=1,\forall x\ge -1\). Biết \(\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)dx}=\frac{a\sqrt{2}+b}{15}\) với \(a,b\in \mathbb{Z}\). Tính \(T=a+b\)?
-
Cho khối lăng trụ có diện tích đáy là \(B=3\) và chiều cao \(h=4\). Thể tích của khối lăng trụ này bằng?
-
GTLN của hàm số \(y=\frac{{{x}^{2}}-2x+1}{x+2}\) trên đoạn \(\left[ 0\,;\,3 \right]\) bằng?
-
Cho HS \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có bảng biến thiên như sau:
Hàm số \(f\left( x \right)\) đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
-
Tập nghiệm của bất phương trình sau \(\log _{2}^{2}\left( 2x \right)+1\le {{\log }_{2}}\left( {{x}^{5}} \right)\) là?
-
Cho hàm số bậc bốn \(y=f\left( x \right)\). Biết hàm số \(y={f}'\left( 1+x \right)\) có đồ thị như trong hình:
.PNG)
Có bao nhiêu số nguyên dương \(m\) sao cho hàm số \(g\left( x \right)=f\left( -{{x}^{2}}+2x-2022+m \right)\) đồng biến trên \(\left( 0\,;\,1 \right)\)?
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) và dấu của đạo hàm cho bởi công thức sau:
Hàm số \(f\left( x \right)\) có mấy điểm cực trị?
-
Trong không gian \(Oxyz\) cho mặt cầu \((S):(x+2)^{2}+y^{2}+(z+5)^{2}=24\) cắt mp \((\alpha): x+y+4=0\) theo giao tuyến là đường tròn \((C)\). Điểm \(M\) thuộc \((C)\) sao cho khoàng cách từ \(M\) đến \(A(4 ;-12 ; 1)\) nhỏ nhất có tung độ bằng?
