Cho số phức \(z\) thỏa mãn \(\left| z+1 \right|\ge 1\). Gọi GTLN và GTNN của biểu thức \(P=\left| \frac{\left( 1+i \right)z+i+2}{z+1} \right|\) lần lượt là \(M\) và \(m\). Khi đó giá trị của \(\left( {{M}^{2}}+{{m}^{2}} \right)\) bằng?
Suy nghĩ trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai+) Ta có: \(P=\left| \frac{\left( 1+i \right)z+i+2}{z+1} \right|=\left| \frac{\left( z+1 \right)\left( 1+i \right)+1}{z+1} \right|=\frac{\left| \left( z+1 \right)\left( 1+i \right)+1 \right|}{\left| z+1 \right|}\)
+) Áp dụng bất đẳng thức: \(\left| {{z}_{1}} \right|-\left| {{z}_{2}} \right|\le \left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|\le \left| {{z}_{1}} \right|+\left| {{z}_{2}} \right|\), ta có:
\(\frac{\left| \left( z+1 \right)\left( 1+i \right) \right|-\left| 1 \right|}{\left| z+1 \right|}\le P\le \frac{\left| \left( z+1 \right)\left( 1+i \right) \right|+\left| 1 \right|}{\left| z+1 \right|}\) \(\Leftrightarrow \left| 1+i \right|-\frac{1}{\left| z+1 \right|}\le P\le \left| 1+i \right|+\frac{1}{\left| z+1 \right|}\)
\(\Leftrightarrow \sqrt{2}-\frac{1}{\left| z+1 \right|}\le P\le \sqrt{2}+\frac{1}{\left| z+1 \right|}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\)
Mà: \(\left| z+1 \right|\ge 1\Rightarrow \left\{ \frac{1}{\left| z+1 \right|}\le 1;\,\,\,\frac{-1}{\left| z+1 \right|}\ge -1\,\,\,(2) \right.\)
Từ và \(\Rightarrow \sqrt{2}-1\le P\le \sqrt{2}+1\)
Bây giờ ta xét dấu “=” xảy ra khi nào.
Với \({{z}_{1}}={{a}_{1}}+{{b}_{1}}i;\,\,\,{{z}_{2}}={{a}_{2}}+{{b}_{2}}i\,\,\,({{a}_{1}},{{b}_{1}},{{a}_{2}},{{b}_{2}}\in \mathbb{R})\), ta có:
\(\begin{array}{l} \bullet \,\,\,\left| {{z_1} + {z_2}} \right| = \left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right| \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {a_1}{b_2} = {a_2}{b_1}\\ {a_1}{a_2} + {b_1}{b_2} \ge 0 \end{array} \right.;\,\,\,\\ \bullet \,\,\,\left| {{z_1}} \right| - \left| {{z_2}} \right| = \left| {{z_1} + {z_2}} \right| \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {a_1}{b_2} = {a_2}{b_1};\,\,\left| {{z_1}} \right| \ge \left| {{z_2}} \right|\\ {a_1}{a_2} + {b_1}{b_2} \le 0 \end{array} \right. \end{array}\)
Giả sử: \(z=a+bi\,\,\,(a,b\in \mathbb{R})\Rightarrow \left( z+1 \right)\left( 1+i \right)=\left( a+1-b \right)+\left( a+b+1 \right)i\).
Mà: \(1=1+0.i\). Do đó:
\(\bullet \,\,\,P=\sqrt{2}+1\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & \left| \left( z+1 \right)\left( 1+i \right)+1 \right|=\left| \left( z+1 \right)\left( 1+i \right) \right|+\left| 1 \right| \\ & \left| z+1 \right|=1 \\ \end{align} \right.\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a + b + 1 = 0\\ a + 1 - b \ge 0\\ \sqrt {{{(a + 1)}^2} + {b^2}} = 1 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a + 1 = - b\\ - 2b \ge 0\\ 2{b^2} = 1 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = \frac{{\sqrt 2 }}{2} - 1\\ b \le 0\\ b = - \frac{{\sqrt 2 }}{2} \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow z = \frac{{\sqrt 2 }}{2} - 1 - \frac{{\sqrt 2 }}{2}i \end{array}\)
\(\bullet \,\,\,P=\sqrt{2}-1\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & \left| \left( z+1 \right)\left( 1+i \right)+1 \right|=\left| \left( z+1 \right)\left( 1+i \right) \right|-\left| 1 \right| \\ & \left| z+1 \right|=1 \\ \end{align} \right.\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a + b + 1 = 0\\ a + 1 - b \le 0\\ \sqrt {{{(a + 1)}^2} + {b^2}} = 1 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a + 1 = - b\\ - 2b \le 0\\ 2{b^2} = 1 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = - \frac{{\sqrt 2 }}{2} - 1\\ b \ge 0\\ b = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow z = - \frac{{\sqrt 2 }}{2} - 1 + \frac{{\sqrt 2 }}{2}i \end{array}\)
Vậy:
\(\left\{ \begin{align} & M=\sqrt{2}+1 \\ & m=\sqrt{2}-1 \\ \end{align} \right.\)
\(\,\,\,\,\,\Rightarrow {{M}^{2}}+{{m}^{2}}=6\).
Chọn C
Đề thi thử Tốt nghiệp THPT môn Toán năm 2023-2024
Trường THPT Trần Khai Nguyên
Câu hỏi liên quan
-
Trong không gian \(Oxyz,\) hình chiếu vuông góc của điểm \(M\left( 3;\,1;\,2 \right)\) lên trục \(Oy\) là điểm nào?
-
Cho 6 HS gồm 2 học sinh lớp A, 2 học sinh lớp B và 2 học sinh lớp C xếp ngẫu nhiên thành một hàng ngang. Tính xác suất để nhóm bất kì 3 học sinh liền kề nhau trong hàng luôn có mặt học sinh của 3 lớp A, B, C?
-
Gọi \(\left( H \right)\) là hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị sau \(y={{x}^{2}}-2x\), \(y=0\) trong mặt phẳng \(Oxy\). Quay hình \(\left( H \right)\) quanh trục hoành ta được một khối tròn xoay có thể tích bằng?
-
Cho số phức \(z=2i+1\). Điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn của số phức \(z\) trên mặt phẳng tọa độ?
-
Xét hàm số \(f\left( x \right)=\left| \frac{mx-2\sqrt{x+4}}{2x+4} \right|\) với \(m\) là tham số thực. Có tất cả bao nhiêu số nguyên \(m\) thỏa mãn điều kiện \(0 < \underset{\left[ -1;1 \right]}{\mathop{\min }}\,f\left( x \right) < 1\)?
-
TXĐ của hàm số \({y=\sqrt{\log _{\frac{1}{2}}\left(x^{2}+7 x\right)+3}}\) là?
-
Cho HS \(f\left( x \right)\) thỏa mãn \(f\left( 0 \right)=\frac{2}{3}\) và \(\left( \sqrt{x}+\sqrt{x+1} \right).{f}'\left( x \right)=1,\forall x\ge -1\). Biết \(\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)dx}=\frac{a\sqrt{2}+b}{15}\) với \(a,b\in \mathbb{Z}\). Tính \(T=a+b\)?
-
Cho hàm số sau
\(f\left( x \right)=\left\{ \begin{align} & 3{{x}^{2}}\ln \left( x+1 \right)\text{ khi }x\ge 0 \\ & 2x\sqrt{{{x}^{2}}+3}+1\text{ khi }x<0 \\ \end{align} \right.\).
Biết \(\int\limits_{\frac{1}{e}}^{e}{\frac{f\left( \ln x \right)}{x}dx}=a\sqrt{3}+b\ln 2+c\) với \(a,b,c\in \mathbb{Q}\). Giá trị của \(a+b+6c\) bằng?
-
Biết rằng đồ thị \((H):y=\frac{{{x}^{2}}+2x+m}{x-2}\) có 2 điểm cực trị \(A,B\). Hãy tính k/c từ gốc tọa độ đến đường thẳng \(AB\)?
-
Đường TCĐ của đồ thị hàm số \(y=\frac{x}{x-1}\) là?
-
Có tất cả bao nhiêu cách chọn ra 2 học sinh gồm nam và nữ từ nhóm \(10\) học sinh gồm \(4\) nam và \(6\) nữ?
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) và dấu của đạo hàm cho bởi công thức sau:
Hàm số \(f\left( x \right)\) có mấy điểm cực trị?
-
Cho khối cầu có bán kính \(R=6\). Tính thể tích khối cầu bằng?
-
Cho HS \({y=x^{3}-3 m x^{2}+12 x+3 m-7}\) với \({m}\) là tham số. Số các giá trị nguyên của \({m}\) đề hàm số đã cho đồng biến trên \({\mathbb{R}}\) là?
-
Với \(a,b\) là các số thực dương tùy ý, ta có \(\log \left( {{a}^{5}}{{b}^{10}} \right)\) bằng?
-
Tập nghiệm của bất phương trình sau \({{5}^{2x+1}}\le 25\) là?
-
Cho HS \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có bảng biến thiên như sau:
Hàm số \(f\left( x \right)\) đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
-
Cho khối lăng trụ đứng \(ABC.{A}'{B}'{C}'\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông cân tại \(C\), \(AB=2a\) và góc tạo bởi 2 mặt phẳng \(\left( AB{C}' \right)\) và \(\left( ABC \right)\) bằng \(60{}^\circ \). Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \({A}'{C}'\) và \(BC\). Mặt phẳng \(\left( AMN \right)\) chia khối lăng trụ thành hai phần. Thể tích của phần nhỏ bằng?
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có đồ thị là đường cong như hình vẽ:
Số nghiệm của phương trình \(2f\left( x \right)+1=0\) là?
-
Cho HS \(f\left( x \right)\), \(g\left( x \right)\) liên tục trên \(\left[ 0;\,2 \right]\) và \(\int\limits_{0}^{2}{f\left( x \right)\text{d}x}=2\), \(\int\limits_{0}^{2}{g\left( x \right)\text{d}x}=-2\). Tính \(\int\limits_{0}^{2}{\left[ 3f\left( x \right)+g\left( x \right) \right]\text{d}x}\)?
