Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\in \left[ -20;20 \right]\) để tồn tại các số thực x, y thỏa mãn đồng thời \({{e}^{3x+5y-10}}-{{e}^{x+3y-9}}=1-2x-2y\) và \(\log _{5}^{2}\left( 3x+2y+4 \right)-\left( m+6 \right){{\log }_{2}}\left( x+5 \right)+{{m}^{2}}+9=0\).
Suy nghĩ trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có \({{e}^{3x+5y-10}}-{{e}^{x+3y-9}}=1-2x-2y\)
\(\Leftrightarrow {{e}^{3x+5y-10}}-{{e}^{x+3y-9}}=\left( x+3y-9 \right)-\left( 3x+5y-10 \right)\)
\(\Leftrightarrow {{e}^{3x+5y-10}}+3x+5y-10={{e}^{x+3y-9}}+x+3y-9\)
Xét hàm số \(f\left( t \right)={{e}^{t}}+t,\text{ }t\in \mathbb{R}\).
Ta có: \({f}'\left( t \right)={{e}^{t}}+1>0,\text{ }\forall t\in \mathbb{R}.\) Suy ra hàm số \(f\left( t \right)\) luôn đồng biến trên \(\mathbb{R}\).
\(\Rightarrow 3x+5y-10=x+3y-9\Leftrightarrow 2y=1-2x\).
Thay vào phương trình thứ 2, ta được
\(\begin{align} & \log _{5}^{2}\left( 3x+2y+4 \right)-\left( m+6 \right){{\log }_{2}}\left( x+5 \right)+{{m}^{2}}+9=0 \\ & \Leftrightarrow \log _{5}^{2}\left( x+5 \right)-\left( m+6 \right){{\log }_{2}}\left( x+5 \right)+{{m}^{2}}+9=0 \\ & \Leftrightarrow \,\log _{5}^{2}\left( x+5 \right)-\left( m+6 \right){{\log }_{2}}5.{{\log }_{5}}\left( x+5 \right)+{{m}^{2}}+9=0\,\left( 1 \right). \\ \end{align}\)
Đặt \({{\log }_{5}}\left( x+5 \right)=t\text{ }\left( t\in \mathbb{R},\text{ }x>-5 \right)\). Khi đó phương trình (1) trở thành
\({{t}^{2}}-{{\log }_{2}}5.\left( m+6 \right)t+{{m}^{2}}+9=0\) (2).
Tồn tại x, y thỏa mãn yêu cầu bài toán khi và chỉ khi phương trình (2) có nghiệm nên \(\Delta ={{\left( m+6 \right)}^{2}}.\log _{2}^{2}5-4\left( {{m}^{2}}+9 \right)\ge 0\Leftrightarrow \left( \log _{2}^{2}5-4 \right){{m}^{2}}+12.\log _{2}^{2}5.m-36\left( 1-\log _{2}^{2}5 \right)\ge 0\).
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m \le {m_1}\\ m \ge {m_2} \end{array} \right.\) với \({{m}_{1}}\approx -43.91\) và \({{m}_{2}}\approx -2.58\)
Do \(m\in \left[ -20;20 \right]\) và \(m\in \mathbb{Z}\) nên \(m\in \left\{ -2;-1;0;...;19;20 \right\}\).
Vậy có 23 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Đề thi thử THPT QG năm 2021 môn Toán
Trường THPT Trần Phú lần 2
Câu hỏi liên quan
-
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu \(\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+2x-4y-2z=0\) và điểm \(M\left( 0;1;0 \right)\). Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua M và cắt \(\left( S \right)\) theo đường tròn \(\left( C \right)\) có chu vi nhỏ nhất. Gọi \(N({{x}_{0}};\,{{y}_{0}};\,{{z}_{0}})\) là điểm thuộc đường tròn \(\left( C \right)\) sao cho \(ON=\sqrt{6}\). Tính \({{y}_{0}}\).
-
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình tham số của đường thẳng \(\Delta :\frac{x-4}{1}=\frac{y+3}{2}=\frac{z-2}{-1}.\)
-
Cho đồ thị hàm số y = f(x) có dạng hình vẽ bên. Tính tổng tất cả giá trị nguyên của m để hàm số y = |f(x) -2m + 5| có 7 điểm cực trị.
.jpg.png)
-
Cho số phức \(z=a+bi\left( a,\,b\in \mathbb{R},\,a>0 \right)\) thỏa \(z.\bar{z}-12\left| z \right|+\left( z-\bar{z} \right)=13-10i\). Tính S=a+b.
-
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(\left( d \right):\frac{x-1}{1}=\frac{y-1}{-1}=\frac{z}{3}\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x+3y+z=0\). Đường thẳng \(\left( \Delta\right)\) đi qua \(M\left( 1;1;2 \right)\), song song với mặt phẳng \(\left( P \right)\) đồng thời cắt đường thẳng \(\left( d \right)\) có phương trình là
-
Cho hàm số \(f(x)\) có bảng biến thiên như sau:
.png)
Hàm số đã cho đạt cực đại tại
-
Cho \(\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{\frac{\sqrt{2+3\tan x}}{1+\cos 2x}dx=a\sqrt{5}+b\sqrt{2},\,\,}\) với \(a,\,\,b\in \mathbb{R}.\) Tính giá trị biểu thức A=a+b.
-
Đẳng thức nào sau đây đúng với mọi số dương \(x\)?
-
Phương trình \({{5}^{2x+1}}=125\) có nghiệm là
-
Cho hình chóp S.ABC có SA=SB=CB=CA, hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng \(\left( ABC \right)\) trùng với trung điểm I của cạnh AB. Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng \(\left( ABC \right)\) bằng.
.png)
-
Số phức liên hợp của số phức z = 2020 - 2021i
-
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình sau \({{\log }_{\frac{1}{2}}}\left( x-1 \right)>{{\log }_{\frac{1}{2}}}\left( {{x}^{3}}+x-m \right)\) có nghiệm.
-
Trong không gian Oxyz, điểm nào dưới đây nằm trên mặt phẳng \(\left( P \right):2x-y+z-2=0\).
-
Cho số phức z và w thỏa mãn z+w=3+4i và \(\left| z-w \right|=9\). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(T=\left| z \right|+\left| w \right|\).
-
Cho số phức z=4-5i. Trên mặt phẳng tọa độ, điểm biểu diễn của số phức \(\overline{z}\) là điểm nào?
-
Cổng trường Đại học Bách Khoa Hà Nội có hình dạng Parabol, chiều rộng \(8\,m\), chiều cao \(12,5\,m\). Diện tích của cổng là
-
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt cầu (S) có tâm \(I(\left( 1;-2;3 \right)\) và \(\left( S \right)\) đi qua điểm \(A\left( 3;0;2 \right)\).
-
Tính theo \(a\) thể tích của một khối trụ có bán kính đáy là \(a\), chiều cao bằng \(2a\).
-
Tìm các nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)={{x}^{3}}+3x+2\).
-
Tổng bình phương các nghiệm của phương trình \({\log _{\frac{1}{2}}}\left( {{x^2} - 5x + 7} \right) = 0\) bằng
