Có tất cả bao nhiêu bộ \(\left( x;y \right)\) với \(x,y\) nguyên và \(1\le x,y\le 2020\) thỏa mãn \(\left( xy+2x+4y+8 \right){{\log }_{3}}\left( \frac{2y}{y+2} \right)\le \left( 2x+3y-xy-6 \right){{\log }_{2}}\left( \frac{2x+1}{x-3} \right)\)?
Suy nghĩ trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTừ giả thiết ta thấy chỉ cần xét trong điều kiện \(3 < x\le 2020\) và \(1\le y\le 2020\).
Ta có: \(\left( xy+2x+4y+8 \right){{\log }_{3}}\left( \frac{2y}{y+2} \right)\le \left( 2x+3y-xy-6 \right){{\log }_{2}}\left( \frac{2x+1}{x-3} \right)\)
\(\Leftrightarrow \left( x+4 \right)\left( y+2 \right){{\log }_{3}}\left( \frac{2y}{y+2} \right)\)\( \le \left( 2-y \right)\left( x-3 \right){{\log }_{2}}\left( \frac{2x+1}{x-3} \right)\) \(\left( 1 \right)\)
Do \(y\) nguyên dương nên ta chỉ cần xét các trường hợp sau:
T.H1. \(y=1\), khi đó bất phương trình \(\left( 1 \right)\) trở thành:
\(3\left( x+4 \right){{\log }_{3}}\left( \frac{2}{3} \right)\)\( \le \left( x-3 \right){{\log }_{2}}\left( \frac{2x+1}{x-3} \right)\)\( \Leftrightarrow 3.\frac{x+4}{x-3}.{{\log }_{3}}\left( \frac{2}{3} \right)-{{\log }_{2}}\left( \frac{2x+1}{x-3} \right)\le 0\).
- Xét hàm số: \(f\left( x \right)\)\( =3.\frac{x+4}{x-3}.{{\log }_{3}}\left( \frac{2}{3} \right)-{{\log }_{2}}\left( \frac{2x+1}{x-3} \right)\) với \(x\in \left( 3;2020 \right]\).
Có: \({f}'\left( x \right)\)\( =3.{{\log }_{3}}\left( \frac{2}{3} \right).\frac{-7}{{{\left( x-3 \right)}^{2}}}-\frac{-7\left( x-3 \right)}{{{\left( x-3 \right)}^{2}}\left( 2x+1 \right).\ln 2}\)
\(=\frac{-7}{{{\left( x-3 \right)}^{2}}}\left( 3.{{\log }_{3}}\left( \frac{2}{3} \right)-\frac{x-3}{\left( 2x+1 \right).\ln 2} \right)>0,\,\,\forall x>3\), do đó \(f\left( x \right)\) đồng biến trên \(\left( 3;+\infty \right)\).
\(\Rightarrow f\left( x \right)\)\( \le f\left( 2020 \right),\,\,\forall x\in \left( 3;2020 \right]\)
\(\Leftrightarrow f\left( x \right)\)\( \le 3.\frac{2024}{2017}.{{\log }_{3}}\left( \frac{2}{3} \right)-{{\log }_{2}}\left( \frac{4041}{2017} \right)<0,\,\,\forall x\in \left( 3;2020 \right]\)
Do đó bất phương trình nghiệm đúng với mọi \(x\in \left( 3;2020 \right]\).
Lại do \(x\in \mathbb{Z}\) nên \(x\in \left\{ 4;5;6;...;2020 \right\}\), hay trường hợp này có \(2017\) cặp số \(\left( x;y \right)\) thỏa mãn.
T.H2: \(y=2\), khi đó bất phương trình \(\left( 1 \right)\) trở thành: \(0\le 0\) luôn đúng với mọi \(x\in \left( 3;2020 \right]\).
Do đó trường hợp này có \(2017\) cặp số \(\left( x;y \right)\) thỏa mãn bài toán.
T.H3. \(y>2\), khi đó \(\frac{2y}{y+2}>1\Rightarrow VT\left( 1 \right)>0\).
Do đó để BPT \(\left( 1 \right)\) có nghiệm thì điều kiện cần là \(VP\left( 1 \right)>0\)
\(\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left( \frac{2x+1}{x-3} \right)<0\)\( \Leftrightarrow \frac{2x+1}{x-3}<1\)\( \Leftrightarrow 2x+1
Trường hợp bày không có giá trị nào thỏa mãn.
Vậy có tất cả \(4034\) cặp \(\left( x;y \right)\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Chọn B
Đề thi thử Tốt nghiệp THPT môn Toán năm 2023-2024
Trường THPT Trần Khai Nguyên
Câu hỏi liên quan
-
Trong không gian \(Oxyz\), cho \(A\left( 1;1;-2 \right)\); \(B\left( 2;0;3 \right)\); \(C\left( -2;4;1 \right)\). Mp đi qua \(A\) và vuông góc với đường thẳng \(BC\) có phương trình là?
-
Cho số phức sau \(z=2+i\). Mô đun của số phức \(\text{w}=\overline{z}+3z\) bằng?
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) thỏa mãn \({f}'\left( x \right)={{x}^{2}}\left( x-1 \right),\forall x\in \mathbb{R}\). Phát biểu nào là đúng?
-
TXĐ của hàm số \({y=\sqrt{\log _{\frac{1}{2}}\left(x^{2}+7 x\right)+3}}\) là?
-
Cho số phức \(z=2i+1\). Điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn của số phức \(z\) trên mặt phẳng tọa độ?
-
Cho \({{z}_{1}}\), \({{z}_{2}}\) là các nghiệm phức phân biệt của phương trình sau \({{z}^{2}}-4z+13=0\). Tính \({{\left| {{z}_{1}}+i \right|}^{2}}+{{\left| {{z}_{2}}+i \right|}^{2}}\)?
-
Đường TCĐ của đồ thị hàm số \(y=\frac{x}{x-1}\) là?
-
Cho khối cầu có bán kính \(R=6\). Tính thể tích khối cầu bằng?
-
Với \(a,b\) là các số thực dương tùy ý, ta có \(\log \left( {{a}^{5}}{{b}^{10}} \right)\) bằng?
-
Biết rằng đồ thị \((H):y=\frac{{{x}^{2}}+2x+m}{x-2}\) có 2 điểm cực trị \(A,B\). Hãy tính k/c từ gốc tọa độ đến đường thẳng \(AB\)?
-
Cho HS \(y=f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\), có đồ thị \({f}'\left( x \right)\) như hình:
.PNG)
Số điểm cực tiểu của hàm số \(g\left( x \right)=f\left( -{{x}^{2}}+x \right)\) là?
-
Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA\) vuông góc với mp \(\left( ABC \right)\), \(SA=1\) và đáy \(ABC\) là tam giác đều với độ dài cạnh bằng 2. Tính góc giữa mặt phẳng \(\left( SBC \right)\) và mặt phẳng \(\left( ABC \right)\)?
-
GTLN của hàm số \(y=\frac{{{x}^{2}}-2x+1}{x+2}\) trên đoạn \(\left[ 0\,;\,3 \right]\) bằng?
-
Cho khối lăng trụ có diện tích đáy là \(B=3\) và chiều cao \(h=4\). Thể tích của khối lăng trụ này bằng?
-
Cho HS \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có bảng biến thiên như sau:
Hàm số \(f\left( x \right)\) đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
-
Cho HS \({y=x^{3}-3 m x^{2}+12 x+3 m-7}\) với \({m}\) là tham số. Số các giá trị nguyên của \({m}\) đề hàm số đã cho đồng biến trên \({\mathbb{R}}\) là?
-
Cho 6 HS gồm 2 học sinh lớp A, 2 học sinh lớp B và 2 học sinh lớp C xếp ngẫu nhiên thành một hàng ngang. Tính xác suất để nhóm bất kì 3 học sinh liền kề nhau trong hàng luôn có mặt học sinh của 3 lớp A, B, C?
-
Cho CSC \(\left( {{u}_{n}} \right)\) có số hạng đầu \({{u}_{1}}=2\) và số hạng thứ tư \({{u}_{4}}=17\). Công sai của cấp số cộng đã cho bằng?
-
Xét hàm số \(f\left( x \right)=\left| \frac{mx-2\sqrt{x+4}}{2x+4} \right|\) với \(m\) là tham số thực. Có tất cả bao nhiêu số nguyên \(m\) thỏa mãn điều kiện \(0 < \underset{\left[ -1;1 \right]}{\mathop{\min }}\,f\left( x \right) < 1\)?
-
Trong không gian \(Oxyz\), cho điểm \(A\left( 1;1;-2 \right)\) và đt \(d:\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{1}=\frac{z}{-2}\). Đường thẳng qua \(A\) và song song với \(d\) có phương trình tham số là?
