Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của m để hàm số \(y = {x^4} - 2m{x^2} + 2m + {m^4}\) có ba điểm cực trị đồng thời các điểm cực trị của đồ thị lập thành tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 1. Tính tổng các phần tử của S.
Suy nghĩ trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTXĐ: \(D = R\). Ta có: \(y' = 4{x^3} - 4mx = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} = m\end{array} \right.\).
Để hàm số có 3 điểm cực trị thì phương trình \(y' = 0\) có 3 nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow m > 0\).
Khi đó ta có: \(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow y = 2m + {m^4} \Rightarrow A\left( {0;2m + {m^4}} \right)\\x = \sqrt m \Rightarrow y = {m^4} - {m^2} + 2m \Rightarrow B\left( {\sqrt m ;{m^4} - {m^2} + 2m} \right)\\x = - \sqrt m \Rightarrow y = {m^4} - {m^2} + 2m \Rightarrow C\left( { - \sqrt m ;{m^4} - {m^2} + 2m} \right)\end{array} \right.\).
Ta có \(d\left( {A;BC} \right) = \left| {{m^4} + 2m - {m^4} + {m^2} - 2m} \right| = {m^2}\) ; \(BC = 2\sqrt m \).
\( \Rightarrow {S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{2}d\left( {A;BC} \right).BC = \dfrac{1}{2}{m^2}.2\sqrt m = {m^2}\sqrt m \).
Ta có : \(A{B^2} = m + {m^4} = A{C^2}\).
Gọi R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, khi đó ta có :
\(\begin{array}{l}{S_{\Delta ABC}} = \dfrac{{AB.AC.BC}}{{4R}} \Leftrightarrow {m^2}\sqrt m = \dfrac{{\left( {m + {m^4}} \right)2\sqrt m }}{4} \Leftrightarrow m + {m^4} = 2{m^2}\\ \Leftrightarrow m\left( {{m^3} - 2m + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\\m = 1\\m = \dfrac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2}\\m = \dfrac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{2}\end{array} \right. \Rightarrow S = \left\{ {0;1;\dfrac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2};\dfrac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{2}} \right\}\end{array}\)
Khi đó tổng các phần tử của S là \(0 + 1 + \dfrac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2} + \dfrac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{2} = 0\).
Chọn C.
