Một chiếc cổng có dạng là một parabol \(\left( P \right)\) có kích thước như hình vẽ, biết chiều cao cổng bằng \(4\,m\,,\,AB\,=\,4\,m\). Người ta thiết kế cửa đi là một hình chữ nhật \(CDEF\,\), phần còn lại dùng để trang trí. Biết chi phí phần tô đậm là 1.000.000 đồng/\({{m}^{2}}\). Hỏi số tiền ít nhất dùng để trang trí phần tô đậm gần với số tiền nào dưới đây?
.PNG)
Suy nghĩ trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiChọn D
Trước hết, ta chọn hệ trục tọa độ\(Oxy\), như hình vẽ
Từ hình vẽ, ta có parabol \(\left( P \right)\) có dạng:\(y=a{{x}^{2}}+b\,;\,a\,,\,b\,\in \mathbb{R}\).
Do \(\left( P \right)\) qua hai điểm có tọa độ là \(\left( 2\,;\,\,0 \right)\,,\,\left( 0\,;\,4 \right)\) nên \(\left( P \right)\) có phương trình \(y=-{{x}^{2}}+4\).
Ta có, diện tích của \(\left( P \right)\) tạo với trục hoành là: \(S=\int_{-2}^{2}{\left( -{{x}^{2}}+4 \right)\text{d}}x=\frac{32}{3}\,{{m}^{2}}\).
Ta gọi điểm \(C\left( a\,;\,0 \right)\Rightarrow D\left( 0\,;\,-{{a}^{2}}+4 \right)\,;\,0<a<2\).
Do đó, diện tích của hình chữ nhật\(CDEF\) là:\({{S}_{CDEF}}\,=\,2a\left( 4-{{a}^{2}} \right)=8a-2{{a}^{3}}\).
Theo đề bài, để phần trang trí, có chi phí nhỏ nhất thì diện tích của hình chữ nhật \(CDEF\) đạt giá trị lớn nhất.
Do cổng chào đối xứng qua trục tung nên ta đặt: \(g\left( a \right)=\frac{{{S}_{CDEF}}}{2}=4a-{{a}^{3}}\,,\,0<a<2\).
\(\Rightarrow g'\left( a \right)=4-3{{a}^{2}}\,\Rightarrow g'\left( a \right)=0\Rightarrow a=\frac{2\sqrt{3}}{3}\).
Ta có, BBT:
Dựa vào bảng biến thiên, suy ra diện tích hình chữ nhật \(CDEF\) đạt giá trị lớn nhất là
\(\frac{32\sqrt{3}}{9}\,{{m}^{2}}\). Vậy, diện tích nhỏ nhất của phần dùng để trang trí là \(\frac{96-32\sqrt{3}}{9}\,{{m}^{2}}\).
Do đó, số tiền ít nhất dùng để trang trí phần tô đậm là \(\left( \frac{96-32\sqrt{3}}{9} \right).1000000=\,4508263,795\approx \,4.509.000\) đồng/\({{m}^{2}}\).
Đề thi thử tốt nghiệp THPT môn Toán năm 2023
Trường THPT Nguyễn Đình Chiểu
Câu hỏi liên quan
-
Cho hình chóp tứ giác \(S.ABCD\) có \(SA=SB=SC=SD=4\sqrt{11}\). Đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(8\). Thể tích của khối chóp \(S.ABC\) bằng
-
Cho hình chóp \(S.ABC\)có đáy \(ABC\) là tam giác đều cạnh \(a\), cạnh \(SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy và \(SA=2a\), gọi \(M\) là trung điểm của \(SC\). Tính côsin của góc \(\alpha \)là góc giữa đường thẳng \(BM\) và \(\left( ABC \right)\).
-
Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để hàm số \(y={{x}^{3}}-3m{{x}^{2}}+3x-6{{m}^{3}}\) đồng biến trên khoảng \(\left( 0;\text{ }+\infty \right)\) là:
-
Trong không gian \(Oxyz,\) cho đường thẳng \(d:\frac{x}{2}=\frac{y}{1}=\frac{z-1}{2}\). Một vectơ chỉ phương của \(d\) là:
-
Cho \(\int\limits_{0}^{1}{f(x)\text{d}x}=-3\) và \(\int\limits_{0}^{1}{g(x)\text{d}x}=2\), khi đó \(\int\limits_{0}^{1}{\left[ f\left( x \right)+2g\left( x \right) \right]\text{d}x}\) bằng
-
Hàm số \(y=f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right)=\left( {{x}^{4}}-{{x}^{2}} \right){{\left( x+2 \right)}^{3}},\forall x\in \mathbb{R}\). Số điểm cực trị của hàm số là
-
Cho số phức \(z\) thỏa mãn \(z+2i.\overline{z}=1+17i\). Khi đó \(\left| z \right|\) bằng
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên đoạn \(\left[ 1\,;2 \right]\) thỏa mãn \(\int\limits_{1}^{2}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}f\left( x \right)\text{d}x}=-\frac{1}{3}\), \(f\left( 2 \right)=0\) và \(\int\limits_{1}^{2}{{{\left[ {f}'\left( x \right) \right]}^{2}}\text{d}x}=7\). Tính tích phân \(I=\int\limits_{1}^{2}{f\left( x \right)\text{d}x}\).
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có bảng xét dấu đạo hàm như hình bên. Hàm số \(y={{e}^{3f\left( 2-x \right)+1}}+{{3}^{f\left( 2-x \right)}}\) đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
.PNG)
-
Gọi \(S\) là tập hợp tất cả các giá trị nguyên dương của tham số \(m\) để bất phương trình \({{x}^{6}}+3{{x}^{4}}-{{m}^{3}}{{x}^{3}}+4{{x}^{2}}-mx+2\ge 0\) đúng với mọi \(x\in \left[ 1;3 \right]\). Tổng của tất cả các phần tử thuộc \(S\) bằng:
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có đồ thị như hình vẽ bên dưới:
.PNG)
Tập hợp tất cả giá trị thực của tham số \(m\) để phương trình \(f\left( 2\sin x+1 \right)=m\) có nghiệm thuộc nửa khoảng \(\left[ 0\,;\frac{\pi }{6} \right)\) là
-
Tập nghiệm của phương trình \({{\log }_{2}}x+{{\log }_{4}}x+{{\log }_{16}}x=7\) là
-
Tổng tất cả các nghiệm của phương trình \({{\log }_{2}}\left| {{x}^{2}}+2x-3 \right|-{{\log }_{2}}\left| x+3 \right|=3\) bằng
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ dưới đây.
Mệnh đề nào sau đây đúng về hàm số đó?
-
Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông tại \(A\), \(\left( SAC \right)\bot \left( ABC \right)\), \(AB=3a,\text{ }BC=5a\). Biết rằng \(SA=2a\sqrt{3}\) và \(\widehat{SAC}=30{}^\circ \). Khoảng cách từ điểm \(A\) đến mặt phẳng \(\left( SBC \right)\) bằng:
-
Trong không gian \(Oxyz\), mặt cầu tâm \(I\left( -1;2;-3 \right)\) và đi qua điểm \(A\left( 2;0;0 \right)\) có phương trình là:
-
Họ nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)=x.\sin 2x\) là
-
Trong không gian \(Oxyz\), cho tam giác \(ABC\) với \(A\left( 3;-1;2 \right)\), \(B\left( -1;3;5 \right)\), \(C\left( 3;1;-3 \right)\). Đường trung tuyến \(AM\) của \(\Delta ABC\) có phương trình là
-
Cho hai số thực \(a\),\(b\) thoả mãn \(2{{\log }_{3}}\left( a-2b \right)={{\log }_{3}}a+{{\log }_{3}}b\) và \(a>2b>0\). Khi đó \(\frac{a}{b}\) bằng
-
Cho hình lập phương \(ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'\) cạnh bằng 1. Gọi \(M\) là trung điểm cạnh \(B{B}'\). Mặt phẳng \(\left( M{A}'D \right)\) cắt cạnh \(BC\) tại \(K\). Thể tích của khối đa điện \({A}'{B}'{C}'{D}'MKCD\) bằng:
