Một sợi dây thép cho chiều dài \(8m,\) được chia thành 2 phần. Phần thứ nhất được uốn thành hình vuông, phần thứ hai được uốn thành hình tam giác đều. Hỏi độ dài của cạnh hình tam giác đều bằng bao nhiêu để diện tích hai hình thu được là nhỏ nhất?
Suy nghĩ trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiGọi chiều dài phần thứ nhất dùng để uốn thành hình vuông là \(8 - x\,\,\left( m \right)\) thì chiều dài phần thứ hai dùng để uốn thành tam giác đều là \(x\,\,\left( m \right)\;\;\left( {0 < x < 8} \right).\)
Khi đó ta có cạnh của hình vuông là \(\frac{{8 - x}}{4}\,\,\left( m \right) \Rightarrow \) Diện tích hình vuông là \({S_1} = \frac{{{{\left( {8 - x} \right)}^2}}}{{16}}\,\,\left( {{m^2}} \right)\).
Cạnh của tam giác đều là \(\frac{x}{3}\,\,\left( m \right) \Rightarrow \) Diện tích tam giác đều là \({S_2} = {\left( {\frac{x}{3}} \right)^2}\frac{{\sqrt 3 }}{4}\,\,\left( {{m^2}} \right)\).
Tổng diện tích hai hình thu được là
\(S = {S_1} + {S_2} = \frac{{{{\left( {8 - x} \right)}^2}}}{{16}}\, + {\left( {\frac{x}{3}} \right)^2}\frac{{\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{{\left( {8 - x} \right)}^2}}}{{16}} + \frac{{{x^2}\sqrt 3 }}{{36}} = \frac{{9{{\left( {8 - x} \right)}^2} + 4\sqrt 3 {x^2}}}{{144}} = \frac{{\left( {9 + 4\sqrt 3 } \right){x^2} - 144x + 576}}{{144}}\)
Ta có \({S_{\min }} \Leftrightarrow {\left[ {\left( {9 + 4\sqrt 3 } \right){x^2} - 144x + 576} \right]_{\min }} \Leftrightarrow x = \frac{{ - b}}{{2a}} = \frac{{144}}{{2\left( {9 + 4\sqrt 3 } \right)}} = \frac{{72}}{{9 + 4\sqrt 3 }}\).
Vậy cạnh của tam giác đều là \(\frac{x}{3} = \frac{{24}}{{9 + 4\sqrt 3 }}\) (m).
Chọn D.
Câu hỏi liên quan
-
Cho \(a > 0,b > 0,b \ne 1.\) Đồ thị hàm số \(y = {a^x}\) và \(y = {\log _b}x\) cho như hình vẽ bên.
.JPG)
Mệnh đề nào sau đây là đúng?
-
Cho tứ diện \(ABCD\) có \(AC = 3a;\,\,BD = 4a.\) Gọi \(M,\,\,N\) lần lượt là trung điểm của \(AD\) và \(BC.\) Biết \(AC\) vuông góc với \(BD\) . Tính \(MN\)
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) xác định trên \(\mathbb{R}\) và có đồ thị hàm số \(f'\left( x \right)\) như hình vẽ. Hàm số \(f\left( x \right)\) có mấy điểm cực trị?
.JPG)
-
Cho mặt cầu \(\left( S \right) = S\left( {O;\,R} \right),\) một mặt phẳng \(\left( P \right)\) cách \(O\) một khoảng bằng \(a,\,\left( P \right)\) cắt \(\left( S \right)\) theo giao tuyến là đường tròn có chu vi bằng \(4\sqrt 2 a\pi .\) Tính theo \(a\) diện tích mặt cầu \(\left( S \right)\) .
-
Cho hình chóp \(SABCD,\) đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật có \(AB = a,\;\;BC = 2a.\) Mặt bên \(SAB\) là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy \(ABCD.\) Diện tích \(S\) của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(SABCD\) là:
-
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như hình vẽ
.JPG)
Hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {2{x^2} - \frac{5}{2}x - \frac{3}{2}} \right)\) nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?
-
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông cạnh \(a\). Cạnh bên \(SA = a\sqrt 6 \) và vuông góc với đáy \(\left( {ABCD} \right)\). Tính theo \(a\) diện tích mặt cầu ngoại tiếp khối chóp \(S.ABCD\).
-
Thể tích của khối lăng trụ có chiều cao bằng \(h\) và diện tích đáy bằng \({h^2}\)
-
Gọi \(S\) là tập hợp các giá trị của tham số \(m\) sao cho phương trình \({\left( {x - 1} \right)^3} = 3{x^2} + 3\sqrt[3]{{3{x^2} + 3x + m}} + 3 + m\) có đúng hai nghiệm thực. Tổng các phần tử của tập hợp \(S\) là:
-
Với giá trị nào của tham số \(m,\) hàm số \(y = \frac{{{x^2} + \left( {m + 1} \right)x - 1}}{{2 - x}}\) nghịch biến trên mỗi khoảng xác định?
-
Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để đồ thị hàm số \(y = \frac{{x + 1}}{{\sqrt {\left( {m - 1} \right){x^2} + 3} }}\) có 2 đường tiệm cận ngang.
-
Hàm số \(y = \log \left( {{x^2} - 2mx + 4} \right)\) có tập xác định \(D = \mathbb{R}\) khi tham số \(m\) thỏa mãn điều kiện
-
Tính giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^2} - 3x + 2}}{{x - 1}}?\)
-
Một mật khẩu gồm 8 ký tự, trong đó có 6 chữ số lấy từ tập hợp 10 chữ số từ 0 đến 9 và 2 chữ cái in hoa lấy từ tập hợp 26 chữ cái không dấu. Người ta tạo một mật khẩu bằng cách viết 8 kí tự thành một hàng ngang, sao cho chữ số viết sau lớn hơn tất cả các chữ số viết trước nó và hai chữ cái không đứng cạnh nhau. Số mật khẩu được tạo ra theo cách như vậy là:
-
Giá trị lớn nhất của hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} - 9x + 35\) trên \(\left[ { - 4;\,4} \right]\) là
-
Cho hình chóp \(S.ABC\) có mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) , tam giác \(ABC\) đều cạnh \(2a\) , tam giác \(SAB\) vuông cân tại \(S\). Tính thể tích hình chóp \(S.ABC\).
-
Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = {x^3} - 5{x^2} + 2\) có đồ thị \(\left( C \right)\) . Có bao nhiêu tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) đi qua điểm \(A\left( {0;2} \right)?\)
-
Cho hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD,\) cạnh đáy có độ dài \(r\sqrt 2 ,\) chiều cao \(h\) . Xét hình nón \(\left( {\rm N} \right)\) ngoại tiếp khối chóp. Gọi \({V_1},\,{V_2}\) lần lượt là thể tích hình nón \(\left( {\rm N} \right)\) và thể tích khối cầu nội tiếp \(\left( {\rm N} \right)\) . Tìm tỉ số \(\frac{h}{r}\) sao cho \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}}\) đạt giá trị nhỏ nhất?
-
Cho hình chóp \(SABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác đều cạnh \(a.\) Biết \(SA \bot \left( {ABC} \right)\) và \(SA = 2a.\) Mặt phẳng \(\left( P \right)\) qua \(B\) vuông góc với \(SC.\) Diện tích thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng \(\left( P \right)\) là:
-
Cho hàm số \(y = {x^4} - 2\left( {1 - {m^2}} \right){x^2} + m + 1.\) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số lập thành tam giác có diện tích là lớn nhất?
