Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): \({{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}+{{\left( z+1 \right)}^{2}}=4\) và đường thẳng d đi qua điểm A(1; 0; − 2), nhận \(\vec{u}=\left( 1;a;1-a \right)\) (với \(a\in R\)) làm vecto chỉ phương. Biết rằng d cắt (S) tại hai điểm phân biệt mà các tiếp diện tại hai điểm đó vuông góc với nhau. Hỏi a thuộc khoảng nào dưới đây?
Suy nghĩ trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiChọn B
Mặt cầu (S) có tâm \(I\left( {1; - 2; - 1} \right)\), bán kính R = 2.
Gọi B, C là giao điểm giữa d và (S), và O là hình chiếu vuông góc của I trên giao tuyến hai mặt tiếp diện.
Theo đề d cắt (S) tại hai điểm phân biệt mà các tiếp diện của (S) tại hai điểm đó vuông góc với nhau.
Nghĩa là tứ giác OBIC là hình vuông, từ đó suy ra \(BC = 2\sqrt 2 \).
Gọi H là trung điểm BC suy ra \(BH = \frac{{BC}}{2} = \sqrt 2 \).
Kẻ \(IH \bot BC\), ta có \(IH = \sqrt {I{B^2} - B{H^2}} = \sqrt 2 \).
Từ đó ta có \(d\left( {I;d} \right) = \sqrt 2 \).
Ta có \(\overrightarrow {AI} = \left( {0; - 2;1} \right)\), \(\overrightarrow u = \left( {1;a;1 - a} \right)\).
Suy ra \(\left[ {\overrightarrow {AI} ;\overrightarrow u } \right] = \left( {a - 2;1;2} \right)\).
Vậy
\(\begin{array}{l}
{\rm{d}}\left( {I;d} \right) = \sqrt 2 \Leftrightarrow \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AI} ;\overrightarrow u } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|}} = \sqrt 2 \\
\Leftrightarrow \frac{{\sqrt {{{\left( {a - 2} \right)}^2} + {1^2} + {2^2}} }}{{\sqrt {1 + {a^2} + {{\left( {1 - a} \right)}^2}} }} = \sqrt 2 \\
\Leftrightarrow {a^2} = \frac{5}{3} \in \left( {\frac{3}{2};2} \right)
\end{array}\)
Đề thi tốt nghiệp THPT môn Toán năm 2023
Bộ GD&ĐT - Mã đề 101
Câu hỏi liên quan
-
Cho số phức z = 1 − 2i. Phần ảo của số phức z bằng?
-
Cho hàm số y = f(x) có bảng xét dấu đạo hàm như sau:
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
-
Trong không gian Oxyz, phương trình đường thẳng d đi qua điểm M(2;1; − 1) và có một vectơ chỉ phương \(\vec{u}=\text{ }\left( 1;\text{ }\text{ }2;\text{ }3 \right)\) là?
-
Đạo hàm của hàm số là?
-
Xét khối nón (N) có đỉnh và đường tròn đáy cùng nằm trên một mặt cầu bán kính bằng 2. Khi (N) có độ dài đường sinh bằng 2V3, thể tích của nó bằng?
-
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có tâm I(1;2; − 1) và bán kính R = 2. Phương trình của (S) là?
-
Điểm M trong hình bên là điểm biểu diễn của số phức nào dưới đây?
-
Tập nghiệm của bất phương trình 22x < 8 là
-
Khẳng định nào dưới đây đúng?
-
Hàm số nào dưới đây có bảng biến thiên như sau?
-
Gọi \({{z}_{1}};{{z}_{2}}\) là hai nghiệm phức của phương trình \({{z}^{2}}-6z+14=0\) và M,N lần lượt là điểm biểu diễn của \({{z}_{1}};{{z}_{2}}\) trên phẳng tọa độ. Trung điểm của đoạn thẳng MN có tọa độ là?
-
Nếu khối lăng trụ ABC.A'B'C' có thể tích V thì khối chóp A'.ABC có thể tích bằng?
-
Trong không gian Oxyz, mặt phẳng (Oxz) có phương trình là?
-
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f'(x) = x(x – 4), \(\forall\)x ∈ R. Khẳng định nào dưới đây đúng?
-
Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, SA = SB = SC = AC = a,SB tạo
với mặt phẳng (SAC) một góc 30°. Thể tích của khối chóp đã cho bằng?
-
Cho hàm số bậc hai y = f(x) có đồ thị (P) và đường thẳng d cắt (P) tại hai điểm như trong hình bên. Biết rằng hình phẳng giới hạn bởi (P) và d có diện tích \(S=\frac{125}{9}\). Tích phân \(\int\limits_{1}^{6}{\left( 2x\text{ }\text{ }5 \right)f'\left( x \right)dx}\) bằng?
-
Cho dãy số (un) với \({{u}_{n}}\text{ }=\frac{1}{n+1},\forall n\in {{N}^{*}}\). Giá trị u3 bằng?
-
Cho khối chóp S.ABCD có chiều cao bằng 4 và đáy ABCD có diện tích bằng 3. Thể tích của khối chóp đã cho bằng?
-
Trong không gian Oxyz, xét mặt cầu (S) có tâm I(4;8; 12) và bán kính R thay đổi. Có bao nhiêu giá trị nguyên của R sao cho ứng với mỗi giá trị đó, tồn tại hai tiếp tuyến của (S) trong mặt phẳng (Oyz) mà hai tiếp tuyến đó cùng đi qua 0 và góc giữa chúng không nhỏ hơn 600?
-
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(5;2;1) và B(1;0;1). Phương trình của mặt cầu đường kính AB là?
