Cho hàm số f(x) xác định trên \(\mathbb{R} \backslash\{-2 ; 2\}\) và thỏa mãn \(f^{\prime}(x)=\frac{4}{x^{2}-4} ; f(-3)=0\) . Tính giá trị biểu thức \(P=f(-4)+f(-1)+f(4)\)?
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\begin{array}{l} \text { Từ } f^{\prime}(x)=\frac{4}{x^{2}-4} \Rightarrow f(x)=\int \frac{4 d x}{x^{2}-4}=\int \frac{4 d x}{(x-2)(x+2)} \\ =\left\{\begin{array}{l} \ln \left|\frac{x-2}{x+2}\right|+C_{1} \text { khi } x \in(-\infty ;-2) \\ \ln \left|\frac{x-2}{x+2}\right|+C_{2} \text { khi } x \in(-2 ; 2) \\ \ln \left|\frac{x-2}{x+2}\right|+C_{3} \text { khi } x \in(2 ;+\infty) \end{array}\right. \end{array}\)
\(\text { Ta có }\left\{\begin{array}{l} f(-3)=0 \\ f(0)=1 \\ f(2)=2 \end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l} \ln 5+C_{1}=0 \\ 0+C_{2}=1 \\ \ln \frac{1}{5}+C_{3}=2 \end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l} C_{1}=-\ln 5 \\ C_{2}=1 \\ C_{3}=2+\ln 5 \end{array}\right.\right.\right.\)
\(\Rightarrow f(x)=\left\{\begin{array}{ll} \ln \left|\frac{x-2}{x+2}\right|-\ln 5 & \text { khi } x \in(-\infty ;-2) \\ \ln \left|\frac{x-2}{x+2}\right|+1 & \text { khi } x \in(-2 ; 2) \\ \ln \left|\frac{x-2}{x+2}\right|+2+\ln 5 & \text { khi } x \in(2 ;+\infty) \end{array}\right.\)
Khi đó \(P=f(-4)+f(-1)+f(4)=\ln 3-\ln 5+\ln 3+1+\ln \frac{1}{3}+2+\ln 5=3+\ln 3\)
